Covering systems

Abstract

Un système couvrant est un ensemble fini de progressions arithmétiques avec la propriété que chaque entier appartient à au moins une des progressions. L’étude des systèmes couvrants a été initié par Erdős dans les années 1950, et il posa dans les années qui suivirent plusieurs questions sur ces objets mathématiques. Une de ses questions les plus célèbres est celle du plus petit module : est-ce que le plus petit module de tous les systèmes couvrants avec modules distinct est borné uniformément? En 2015, Hough a montré que la réponse était affirmative, et qu’une borne admissible est 1016. En se basant sur son travail, mais en simplifiant la méthode, Balister, Bollobás, Morris, Sahasrabudhe et Tiba on réduit cette borne a 616, 000. Leur méthode a menée a plusieurs applications supplémentaires. Entre autres, ils ont compté le nombre de système couvrant avec un nombre fixe de module. La première partie de ce mémoire vise a étudier une question similaire. Nous allons essayer de compter le nombre de système couvrant avec un ensemble de module fixé. La technique que nous utiliserons nous mènera vers l’étude des symmétries de système couvrant. Dans la seconde partie, nous répondrons à des variantes du problème du plus petit module. Nous regarderons des bornes sur le plus petit module d’un système couvrant de multiplicité s, c’est-à-dire un système couvrant dans lequel chaque module apparait au plus s fois. Nous utiliserons ensuite ce résultat afin montrer que le plus petit module d’un système couvrant de multiplicité 1 d’une progression arithmétique est borné, ainsi que pour montrer que le n-eme plus petit module dans un système couvrant de multiplicité 1 est borné.

A covering system is a finite set of arithmetic progressions with the property that every integer belongs to at least one of them. The study of covering systems was started by Erdős in the 1950’s, and he asked many questions about them in the following years. One of the most famous questions he asked was if the minimum modulus of a covering system with distinct moduli is bounded uniformly. In 2015, Hough showed that it is at most 1016. Following on his work, but simplifying the method, Balister, Bollobás, Morris, Sahasrabudhe and Tiba showed that it is at most 616, 000. Their method led them to many further applications. Notably, they counted the number of covering systems with a fixed number of moduli. The first part of this thesis seeks to study a related question, that is to count the number of covering systems with a given set of moduli. The technique developped to do this for some sets will lead us to look at symmetries of covering systems. The second part of this thesis will look at variants of the minimum modulus problem. Notably, we will be looking at bounds on the minimum modulus of a covering system of multiplicity s, that is a covering system in which each moduli appears at most s times, as well as bounds on the minimum modulus of a covering system of multiplicity 1 of an arithmetic progression, and finally look at bounds for the n-th smallest modulus in a covering system.