Distribution of reflection points of periodic billiard trajectories in a strictly convex table

Abstract

Ce mémoire de maîtrise porte sur les billards mathématiques et la distribution des points de réflexion des trajectoires périodiques d’une table de billard strictement convexe. Un billard mathématique est un système dynamique généré par le mouvement libre d’une particule à l’intérieur d’un domaine dont la frontière est parfaitement réfléchissante. Une question d’intérêt particulier dans l’étude des billards mathématiques est celle de ses trajectoires périodiques. Nous considérons le cas des billards planaires strictement convexes. Il est connu que les points de réflexion des trajectoires périodiques de période n faisant un tour de table sont équidistribués par rapport à une mesure naturelle sur la frontière. Nous montrons ce résultat par une méthode nouvelle et relativement élémentaire utilisant la théorie de Lazuktin [12]. Dans le premier chapitre, nous donnons une description précise de la dynamique des billards et une brève introduction à la théorie de Lazuktin, aux applications de torsion et aux caustiques. Dans les chapitres 2 à 4, nous développons chacun des concepts précédents et expliquons comment ceux-ci sont liés aux billards. Le chapitre 5 est consacré à la preuve de notre résultat principal, divisée en deux parties. Nous concluons en donnant une annexe sur la théorie de la mesure.

This master’s thesis is concerned with mathematical billiards and distribution of reflection points of periodic trajectories of a strictly convex billiard table. A mathematical billiard is a dynamical system generated by the free motion of a particle inside of a domain with a perfectly reflecting boundary. A question of particular interest in the study of mathematical billiards is that of its periodic trajectories. We consider the case of planar strictly convex billiards. It is known that the reflection points of periodic trajectories of period n making one turn around the table are equidistributed with respect to a natural measure on the boundary. We show this result by a new and relatively elementary method using Lazuktin’s theory [12]. In the first chapter, we give a precise description of billiard dynamics and a brief introduction of Lazuktin’s theory, twist mappings and caustics. In Chapter 2 to 4, we elaborate each of the previous concepts and explain how they are related to billiards. Chapter 5 is dedicated to the proof of our main result, divided into two parts. We conclude by giving an appendix about measure theory.