Asymptotiques spectrales et géométrie des nombres

Abstract

Dans cette thèse, nous étudions le spectre du laplacien ainsi que celui d’autres opérateurs qui lui sont associés. Sur une variété riemannienne compacte M fermée, ou possédant un bord et munie de conditions frontières auto-adjointes, le laplacien a un spectre réel, discret

𝜆1(M) ≤ 𝜆2≤ (M)… ↗∞

ne s’accumulant qu’à l’infini, où les 𝜆j (M) sont les nombres réels pour lesquels il existe une solution non-triviale à l’équation

Δ𝜑 + 𝜆𝜑 = 0.

Nous nous sommes particulièrement intéressé au comportement asymptotique de la fonction de compte

N(𝜆; M) ≔ #{ 𝜆j (M) ˂ 𝜆}.

Hermann Weyl a démontré en 1911 [80] ce qui s’appelle aujourd’hui la loi de Weyl,

N(𝜆; M) ω^d/〖(2π)〗_d Vol(M)𝜆d/2,

où ωd est le volume de la boune unité en dimension d. Nous cherchons à déterminer la taille de R(𝜆; M) ≔ N(𝜆; M) − ω^d/〖(2π)〗_d Vol(M)𝜆d/2.

Dans les contextes que nous avons étudiés, nous avons traduit ce problème dans les termes de la géométrie des nombres, i.e. l’étude de l’interaction entre les points de réseaux, par exemple ℤd, et les ensembles convexes. Dans le premier chapitre, nous décrivons précisément les problèmes à l’étude ainsi que les liens qu’ils possèdent avec la géométrie des nombres, et décrivons plus en détails les principales techniques utilisées.

Le second chapitre, intitulé On a generalised Gauss circle problem and integrated density of states [54], est le fruit d’une collaboration avec Leonid Parnovski. Nous y étudions le spectre du laplacien sur un produit d’un tore plat et de l’espace euclidien. Dans ce cas le spectre n’est pas discret mais nous étudions une quantité, la densité intégrée des états, qui remplit le rôle de la fonction de compte des valeurs propres et qui suit elle-même une loi de Weyl. Nous obtenons des bornes supérieures et inférieures sur R(𝜆) dans ce contexte, qui dépendent des dimensions relatives du tore et de l’espace euclidien. Nous obtenons que lorsque la dimension du tore est strictement inférieure à celle de l’espace euclidien, nos bornes inférieures et supérieures sont dumême ordre polynomial.Nous obtenons aussi un développement asymptotique jusqu’à l’ordre constant pour la densité d’états intégrée de l’opérateur de Schrödinger magnétique avec potentiel constant. Le troisième chapitre, intitulé The Steklov spectrum of cuboids [26] provient d’une collaboration avec Alexandre Girouard, Iosif Polterovich et Alessandro Savo. Nous y étudions le problème aux valeurs propres de Steklov sur des cuboïdes en toute dimension. Cet opérateur a été peu étudié sur des domaines dont la frontière n’est pas lisse et nous utilisons le cuboïde comme premier modèle d’un tel cas. Le spectre reste discret et ne s’accumule qu’à l’infini, nous obtenons une loi de Weyl à deux termes ainsi qu’une inégalité isopérimétrique pour la première valeur propre non triviale. Finalement, nous y obtenons aussi que certaines suites de fonctions propres se concentrent asymptotiquement sur des ensembles de mesure nulle, un comportement qu’on appelle la cicatrisation.

Dans le dernier chapitre, intitulé Eigenvalue optimisation on flat tori and lattice points in anisotropically expanding domains [53], nous étudions le spectre du laplacien sur des tores plats. Nous obtenons des bornes pour R(𝜆;M) dépendant du rayon d’injectivité. Nous utilisons ensuite ces bornes pour démontrer que toute suite de tores plats 𝕋K maximisant la k-ième valeur propre du laplacien doit dégénérer lorsque la dimension est inférieure à 10. Pour ce faire, nous avons ramené le problème à celui de compter les points de ℤd dans un domaine qui croît de façon anisotrope, généralisant des résultats obtenus par Yuri Kordyukov et Andrei Yakovlev [49].

In this thesis, we study the spectrum of the Laplacian and of other related operators. When defined on either a closed compact Riemannian manifold, or a manifold with boundary and self-adjoint boundary conditions, the Laplacian Δ has a real and discrete spectrum

𝜆1(M) ≤ 𝜆2≤ (M)… ↗∞

accumulating only at ∞ The numbers 𝜆j (M) are those for which there is a non-trivial solution to the equation

Δ𝜑 + 𝜆𝜑 = 0.

We are more specifically interested in the asymptotic behaviour of the counting function

N(𝜆; M) ≔ #{ 𝜆j (M) ˂ 𝜆}.

Hermann Weyl has shown in 1911 [80] what is now known as Weyl’s law,

R(𝜆; M) ≔ N(𝜆; M) − ω^d/〖(2π)〗_d Vol(M)𝜆d/2 as 𝜆 ⟶ ∞

where ωd is the volume of the unit ball in dimension d. We want to determine the size of

R(𝜆; M) ≔ N(𝜆; M) − ω^d/〖(2π)〗_d Vol(M)𝜆d/2. In the context at hand, we have translated this problem in terms of the geometry of numbers, the study of the interaction between lattice points, e.g. ℤd and convex sets. In the first chapter, we make a precise description of the problems studied and how they can be linked to the geometry of numbers. Furthermore, we describe in more detail themain techniques that we have used.

The second chapter, titled On a generalised Gauss circle problem and integrated density of states [54], has been written in collaboration with Leonid Parnovski. There, we study the spectrum of the Laplacian on a product of a flat torus and Euclidean space. In this case, the spectrum is not discrete. However, we study the integrated density of states, which takes the role of the eigenvalue counting function and also satisfies Weyl’s law. We obtain upper and lower bounds on R(𝜆) in this context, which depend on the relative dimensions of the flat torus and Euclidean space. When the dimension of the torus is strictly smaller than that of the Euclidean space the upper and lower bound share the same polynomial order. We also obtain an asymptotic expansion up to constant order for the integrated density of states of a magnetic Schrödinger operator with constant potential.

The third chapter, titled The Steklov spectrum of cuboids [26] has been written together with Alexandre Girouard, Iosif Polterovich and Alessandro Savo. We study the Steklov spectrum, i.e.the spectrum of the Dirichlet-to-Neumann operator on cuboids of any dimension. Eigenvalue asymptotics for this operator had not been very much studied on domains whose boundaries are not smooth and cuboids provide a first example of such domains. The spectrum is discrete and only accumulates at infinity, and we obtain a two-term Weyl’s law for the Steklov spectrum. We also obtain an isoperimetric inequality for the first non-trivial eigenvalue. Finally, we prove that some sequence of eigenfunctions concentrates along edges, which are subsets of measure zero, a phenomenon named scarring.

In the last chapter, titled Eigenvalue optimisation on flat tori and lattice points in anisotropically expanding domains [53], we turn our attention to the spectrum of the Laplacian on flat tori. We obtain bounds on R(𝜆) depending on the injectivity radius. We then use those bounds to obtain that any sequence of flat tori 𝕋K maximising the kth eigenvalue of the Laplacian must degenerate when dimension is inferior or equal to 10. To do so, we have stated the problem at hand in terms of counting points of ℤd inside anisotropically expanding domains, generalising results of Yuri Kordyukov and Andrei Yakovlev [49].