Structure de la distribution de probabilités de l'état GHZ sous l'action locale de transformations du groupe U(2)

Abstract

Dans ce mémoire, je démontre que la distribution de probabilités de l'état quantique Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ) sous l'action locale de mesures de von Neumann indépendantes sur chaque qubit suit une distribution qui est une combinaison convexe de deux distributions. Les coefficients de la combinaison sont reliés aux parties équatoriales des mesures et les distributions associées à ces coefficients sont reliées aux parties réelles des mesures. Une application possible du résultat est qu'il permet de scinder en deux la simulation de l'état GHZ. Simuler, en pire cas ou en moyenne, un état quantique comme GHZ avec des ressources aléatoires, partagées ou privées, et des ressources classiques de communication, ou même des ressources fantaisistes comme les boîtes non locales, est un problème important en complexité de la communication quantique. On peut penser à ce problème de simulation comme un problème où plusieurs personnes obtiennent chacune une mesure de von Neumann à appliquer sur le sous-système de l'état GHZ qu'il partage avec les autres personnes. Chaque personne ne connaît que les données décrivant sa mesure et d'aucune façon une personne ne connaît les données décrivant la mesure d'une autre personne. Chaque personne obtient un résultat aléatoire classique. La distribution conjointe de ces résultats aléatoires classiques suit la distribution de probabilités trouvée dans ce mémoire. Le but est de simuler classiquement la distribution de probabilités de l'état GHZ. Mon résultat indique une marche à suivre qui consiste d'abord à simuler les parties équatoriales des mesures pour pouvoir ensuite savoir laquelle des distributions associées aux parties réelles des mesures il faut simuler. D'autres chercheurs ont trouvé comment simuler les parties équatoriales des mesures de von Neumann avec de la communication classique dans le cas de 3 personnes, mais la simulation des parties réelles résiste encore et toujours.

In this Master's thesis, I show that the probability distribution of the Greenberger-Horne-Zeilinger quantum state (GHZ) under local action of independent von Neumann measurements follows a convex distribution of two distributions.The coefficients of the combination are related to the equatorial parts of the measurements, and the distributions associated with those coefficients are associated with the real parts of the measurements. One possible application of my result is that it allows one to split into two pieces the simulation of the GHZ state. Simulating, in worst case or in average, a quantum state like the GHZ state with random resources, shared or private, as well as with classical communication resources or even odd resources like nonlocal boxes is a very important in the theory of quantum communication complexity. We can think of this simulation problem as a problem in which many people get the description of a von Neumann measurement. Each party does not know the description of any other measurements belonging to the other parties. Each party after having applied his measurement on the subsystem of the state that he shares with the others gets a classical outcome. The joint distribution of the outcomes of every parties follows the distribution studied in this thesis in the case of the GHZ state. My result indicates that in order to simulate the distribution, we can first simulate the equatorial parts of the measurements in order to know which distribution associated to the real parts of the measurements to simulate. Other researchers have found how to simulate the equatorial parts of the von Neumann measurements with classical resources in the case of 3 parties, but it is still unknown how to simulate the real parts.