Soit (M, ω) une variété symplectique. Nous construisons une version de l’éclatement
et de la contraction symplectique, que nous définissons relative à une sous-variété
lagrangienne L ⊂ M. En outre, si M admet une involution anti-symplectique ϕ, et que
nous éclatons une configuration suffisament symmetrique des plongements de boules,
nous démontrons qu’il existe aussi une involution anti-symplectique sur l’éclatement
~M. Nous dérivons ensuite une condition homologique pour les surfaces lagrangiennes
réeles L = Fix(ϕ), qui détermine quand la topologie de L change losqu’on contracte une
courbe exceptionnelle C dans M. Finalement, on utilise ces constructions afin d’étudier
le packing relatif dans (ℂP²,ℝP²).
Given a symplectic manifold (M,ω) and a Lagrangian submanifold L, we construct
versions of the symplectic blow-up and blow-down which are defined relative to L. Furthermore,
if M admits an anti-symplectic involution ϕ, i.e. a diffeomorphism such that
ϕ2 = Id and ϕ*ω = —ω , and we blow-up an appropriately symmetric configuration
of symplectic balls, then we show that there exists an antisymplectic involution on the
blow-up ~M as well. We derive a homological condition for real Lagrangian surfaces
L = Fix(ϕ) which determines when the topology of L changes after a blow down, and
we then use these constructions to study the real packing numbers for real Lagrangian
submanifolds in (ℂP²,ℝP²).
