Optimisation géométrique des valeurs propres de Steklov, de Laplace et de Dirac

Abstract

Dans cette thèse, nous étudions des questions liées à l'optimisation des valeurs propres d'opérateurs (pseudo)-différentiels sur une variété. En premier lieu, nous nous intéressons au rôle de la géométrie du bord d'une variété sur les valeurs propres du problème de Steklov sur cette variété. Puis nous étudions les métriques (conformément) extrémales pour les valeurs propres de Laplace, de Steklov et de Dirac.

Dans le premier chapitre, basé sur l'article « Hypersurfaces with prescribed boundary and small Steklov eigenvalues » écrit en collaboration avec A. Girouard et B. Colbois, l'influence de la géométrie du bord \(\partial M\) sur les valeurs propres de Steklov est étudiée. Nous fixons une hypersurface \(M\) de \(\mathbb{R}^{n+1}\) et construisons une famille d'hypersurfaces \(M_j\) telle que \(\partial M_j = \partial M\) et pour tout \(k\), $$ \sigma_k(M_j) \to 0 \qquad \text{ quand } j \to \infty, $$ où \(\sigma_k(M_j)\) est la \(k\)-ième valeur propre de Steklov non nulle sur \(M_j\). Ces hypersurfaces satisfont de plus à des contraintes géométriques supplémentaires sur leur volume, diamètre et courbures sectionnelles sur le bord. Ceci montre que pour des hypersurfaces, connaître la géométrie du bord \(\partial M\) ne suffit pas à obtenir des bornes inférieures pour les valeurs propres \(\sigma_k\) de Steklov.

Dans le second chapitre, basé sur l'article « Laplace and Steklov extremal metrics via \(n\)-harmonic maps » écrit en collaboration avec M. Karpukhin, les métriques (conformément) extrémales sont étudiées pour le laplacien et le problème de Steklov en dimension \(n\). Nous donnons à celles du laplacien une caractérisation en termes d'applications \(n\)-harmoniques dans \(\mathbb{S}^{m-1}\). Nous montrons aussi que le problème de Steklov à densité \(\rho\) sur le bord est plus adapté à cette étude, puisqu'il permet une correspondance entre métriques conformément extrémales et applications \(n\)-harmoniques à bord libre dans \(\mathbb{B}^m\). De plus nous prouvons qu'une seule normalisation de \(\sigma_k\), à base de puissances du volumes de \(M\) et de \(\partial M\), admet des métriques extrémales. Finalement, nous construisons à partir d'applications harmoniques à bord libre dans \(\mathbb{B}^3\) des paires \((g, \rho)\) de métriques et densités conformément extrémales sur un anneau. Leurs propriétés sont étudiées et nous conjecturons que ces paires sont conformément maximales.

Dans le dernier chapitre nous discutons des possibilités d'applications, au problème de Dirac sur une surface de Riemann, de notre approche de caractérisation des métriques conformément extrémales. Ce travail est basé sur une collaboration en cours avec M. Karpukhin et I. Polterovich. Nous démontrons qu'une métrique conformément \(\lambda_k\)-extrémale engendre, à partir des \(\lambda_k\)-spineurs propres correspondant, une application harmonique de la surface dans \(\mathbb{CP}^{2m-1}\). Ce résultat est utilisé dans le cas du tore afin de donner une condition suffisante pour que le minimum de \(\lambda_1(M, g) \mathrm{Aire}(M, g)^{1/2}\) dans une classe conforme soit atteint par la métrique plate. Finalement nous présentons quelques possibilités de recherches futures sur les valeurs propres de Dirac.

In this thesis, we investigate some questions related to the geometric optimisation of eigenvalues for some (pseudo)-differential operators on a manifold. First, we study how Steklov eigenvalues on a manifold with boundary are influenced by the geometry of the boundary. Secondly, we study (conformally) extremal metrics for the Laplace, Steklov and Dirac eigenvalues.

In the first chapter, based on the article "Hypersurfaces with prescribed boundary and small Steklov eigenvalues" written in collaboration with A. Girouard and B. Colbois, we investigate the influence of the geometry of the boundary on Steklov eigenvalues. We fix a hypersurface \(M\) in \(\mathbb{R}^{n+1}\) and construct a family of hypersurfaces \(M_j\) such that \(\partial M_j = \partial M\) and for all \(k\), $$ \sigma_k(M_j) \to 0 \qquad \text{when } j \to \infty, $$ where \(\sigma_k(M_j)\) is the \(k\)-th non-zero Steklov eigenvalue on \(M_j\). The constructed hypersurfaces satisfy some further geometric constraints on their volume, diameter and sectional curvatures of the boundary. This shows that for hypersurfaces, knowing the boundary \(\partial M\) is not enough to obtain lower bounds for the Steklov eigenvalues.

In the second chapter, based on the article \emph{Laplace and Steklov extremal metrics via \(n\)-harmonic maps} written in collaboration with M. Karpukhin, the (conformally) extremal metrics are studied for the Laplacian and the Steklov problem in dimension \(n\). There we give to the Laplace ones a characterization in terms of \(n\)-harmonic maps to \(\mathbb{S}^{m-1}\). We also show that the Steklov problem with density \(\rho\) on the boundary is better suited to this work, as it allows a correspondence between conformally extremal metrics and free-boundary \(n\)-harmonic maps to \(\mathbb{B}^m\). Furthermore, we prove that only one normalization of \(\sigma_k\) using powers of the volumes of \(M\) and \(\partial M\) allows for extremal metrics. Finally we construct, from free-boundary harmonic maps to \(\mathbb{B}^3\), conformally extremal pairs \((g, \rho)\) of metrics and densities on an annulus. Their properties are studied and we conjecture that such pairs are conformally maximal.

In the last chapter, we discuss possible applications to the Dirac problem on a Riemann surface of our approach to the characterization of conformally extremal metrics. This work is based on a ongoing collaboration with M. Karpukhin and I. Polterovich. We show that a conformally \(\lambda_k\)-extremal metric yields, from the corresponding \(\lambda_k\)-eigenspinors, an harmonic map to \(\mathbb{CP}^{2m-1}\). This result is then used on the torus to obtain a sufficient condition for the minimum of \(\lambda_1(M, g) \mathrm{Area}(M, g)^{1/2}\) in a conformal class to be achieved by the flat metric. Finally we present some directions for possible future research on Dirac eigenvalues.