Sur la relation entre les métriques de nature symplectique et la métrique de Hausdorff en présence de bornes riemanniennes

Abstract

La présente thèse s’intéresse à la relation entre diverses métriques provenant de la topologie symplectique définies sur une collection de sous-variétés lagrangiennes et la métrique de Hausdorff lorsque les sous-variétés étudiées respectent certaines bornes provenant de la géométrie riemannienne. Après une introduction aux notions préalables à la compréhension de la thèse, nous démontrons dans un premier temps que, pour une grande classe de métriques de nature symplectique, la convergence vers une sous-variété lagrangienne plongée implique la convergence vers celle-ci dans la métrique de Hausdorff. Cette classe de métriques inclut des métriques bien connues comme la métrique de Hofer lagrangienne et la métrique spectrale, mais également des additions plus récentes comme les métriques d’ombre.

Nous étudions ensuite le problème inverse : dans quels contextes pouvons-nous dire que la convergence dans la métrique de Hausdorff implique la convergence dans certaines métriques de nature symplectique ? Nous répondons à cette question lorsque les sous-variétés lagrangiennes considérées sont exactes, en démontrant dans la même lancée des versions métriques de la conjecture de la lagrangienne proche et de la conjecture de Viterbo sur la norme spectrale. Les techniques développées nous permettent aussi d’obtenir des résultats de C^0-rigidité pour plusieurs types de sous-variétés d’une variété symplectique ou de contact.

The present thesis’ interest resides in the relation between various metrics coming from symplectic topology defined on a collection of Lagrangian subvarieties and the Hausdorff metric in the case when the subvarieties we study respect certain bounds coming from Riemannian geometry. After an introduction to the notions required for the understanding of the thesis, we first show that, for a large class of metrics coming from symplectic topology, the convergence to an embedded Lagrangian submanifold implies that the convergence is also in the Hausdorff metric. This class of metrics includes well-known metrics such as the Lagrangian Hofer metric and the spectral metric, but also more recent additions to field like shadow metrics.

We then study the inverse problem: in which contexts can we say that convergence in the Hausdorff metric implies convergence in some metrics coming from symplectic topology? We answer this question when the considered Lagrangian submanifolds are exact, proving at the same time metric versions of the nearby Lagrangian conjecture and of the Viterbo conjecture on the spectral norm. The techniques that we develop also allow us to obtain C^0-rigidity results for several types of submanifolds of a symplectic or contact manifold.