Estimation bayésienne d'une fonction de Pickands par des splines cubiques

Abstract

Le sujet de notre mémoire est l'intersection entre deux domaines : La théorie des valeurs extrêmes (TVE) et les copules. L'objet de la TVE est de trouver la loi limite du maximum d'un échantillon. Grâce aux résultats de la TVE, on peut modéliser les phénomènes extrêmes. Par aillleurs, il existe une variante bivariée de la TVE. La variante bivariée de la TVE utilise une famille de copules appelées copules de valeurs extrêmes pour tenir compte de la liaison entre les deux phénomènes extrêmes. En dimension 2, toute copule de valeurs extrêmes dépend d'une fonction de Pickands. L'objet de notre mémoire est d'estimer la fonction de Pickands à partir de données. Nous avons trouvé un moyen de construire une fonction de Pickands grâce à des splines cubiques. À partir de cette construction, on obtient une famille élargie de fonctions de Pickands dans laquelle nous effectuons notre inférence statistique. Nous avons choisit l'approche bayésienne pour construire l'estimateur et les méthodes de MCMC pour les évaluations numériques. La méthode a été appliquée sur des données simulées et réelles.

The subject of our thesis is intersection between two fields: The Extreme Value Theory (EVT) and copulas. The object of EVT is to find the limit law of the maximum of a sample. Due to the results of EVT, we can model extreme phenomena. In addition, there is a bivariate variant of EVT. The bivariate variant of EVT uses a family of copulas called extreme value copulas to account for the connection between the two extreme events. Any copula with extreme values depends on a Pickands function. The object of our thesis is to estimate the Pickands function from data. We have found a way to build a Pickands function using cubic splines. From this construction, we obtain an extended family of Pickands functions in which we perform our statistical inference. We chose the Bayesian approach to build the estimator and the MCMC methods for the estimates. The method was applied on simulated and real data.