Prime number races
Thesis or Dissertation
2020-08 (degree granted: 2021-03-24)
Advisor(s)
Level
Master'sDiscipline
MathématiquesKeywords
- Courses de nombres premiers
- Biais de Chebyshev
- Formule explicite
- Fonctions L
- Nombres premiers de Sophie Germain
- Crible de Selberg
- Modèle de Cramér
- Méthode du cercle
- Théorie analytique des nombres
- Prime number races
- Chebyshev's bias
- Explicit formula
- L-functions
- Sophie Germain primes
- Selberg sieve
- Cramér's model
- Circle method
- Analytic number theory
- Mathematics / Mathématiques (UMI : 0405)
Abstract(s)
Sous l’hypothèse de Riemann généralisée et l’hypothèse d’indépendance linéaire, Rubinstein
et Sarnak ont prouvé que les valeurs de x > 1 pour lesquelles nous avons plus de nombres
premiers de la forme 4n + 3 que de nombres premiers de la forme 4n + 1 en dessous de
x ont une densité logarithmique d’environ 99,59%. En général, l’étude de la différence
#{p < x : p dans A} − #{p < x : p dans B} pour deux sous-ensembles de nombres premiers A et
B s’appelle la course entre les nombres premiers de A et de B. Dans ce mémoire, nous
cherchons ultimement à analyser d’un point de vue numérique et statistique la course entre
les nombres premiers p tels que 2p + 1 est aussi premier (aussi appelés nombres premiers de
Sophie Germain) et les nombres premiers p tels que 2p − 1 est aussi premier. Pour ce faire,
nous présentons au préalable l’analyse de Rubinstein et Sarnak pour pouvoir repérer d’où
vient le biais dans la course entre les nombres premiers 1 (mod 4) et les nombres premiers
3 (mod 4) et émettons une conjecture sur la distribution des nombres premiers de Sophie
Germain. Under the Generalized Riemann Hypothesis and the Linear Independence Hypothesis, Rubinstein
and Sarnak proved that the values of x which have more prime numbers less than
or equal to x of the form 4n + 3 than primes of the form 4n + 1 have a logarithmic density
of approximately 99.59%. In general, the study of the difference #{p < x : p in A} − #{p < x : p in B}
for two subsets of the primes A and B is called the prime number race between A and B. In
this thesis, we will analyze the prime number race between the primes p such that 2p + 1 is
also prime (these primes are called the Sophie Germain primes) and the primes p such that
2p − 1 is also prime. To understand this, we first present Rubinstein and Sarnak’s analysis
to understand where the bias between primes that are 1 (mod 4) and the ones that are
3 (mod 4) comes from and give a conjecture on the distribution of Sophie Germain primes.
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