Long large character sums

Abstract

Cette thèse traite d’un sujet central de la théorie analytique des nombres, notamment celui des caractères de Dirichlet et plus particulièrememt, celui des sommes de caractères. Plus précisément, on y développe un résultat concernant la valeur maximale pouvant être atteinte par une longue somme de caractère. Chemin faisant, nous serons amenés à investiguer la structure de réseaux et nous en soutirerons un résultat intéressant. Dans le Chapitre 1 sont discutées les notions et techniques nécessaires à l’élaboration de la preuve du résultat principal. On y discutera des notions d’analyse harmonique, de techniques classiques de théorique des nombres et l’on fera finalement un survol des nombres friables. Le Chapitre 2 introduira la théorie propre aux caractères de Dirichlet et aux sommes de caractères. Les propriétés de bases et les théorèmes classiques seront couverts ainsi qu’un aperçu des résultats récents qui touchent de près au sujet principal de cette thèse. On donnera au Chapitre 3 un premier résultat qui fera diverger la thèse dans le domaine des réseaux. Il s’agit d’un résultat auxiliaire au résultat principal, mais qui offre un intérêt indépendant aux sommes de caractères. Il sera question de l’ordre de grandeur des multiples d’un vecteur choisi dans un réseau, lorsque les multiplicateurs sont dans certaines classes de congruences. Le Chapitre 4 servira de lien entre les réseaux et les caractères et on y appliquera les théorème démontrés au Chapitre 3. Les résultats sur les caractères qui en découlerons serons les éléments clés pour la preuve du théorème principal. Au chapitre 5, nous dériverons quelques estimés préliminaires qui seront nécessaires à la preuve du théorème principal. En particulier, le chapitre sera divisé en deux sectioncs; l’une traitant de sommes exponentielles, l’autre de nombre friables. Finalement, le Chapitre 6 constitura le point culminant de cette thèse et servira à démontrer le résultat principal sur les sommes de caractères. Nous y prouverons une borne inférieur sur le maximum pouvant être atteinte par un caractère parmi les caractères modulo un nombre premier q.

This thesis deals with a central topic in analytic number theory, namely that of characters and more specifically, that of character sums. More precisely, we will develop a result concerning the maximal value that can be attained by some long character sum. In Chapter 1 are discussed the notions and techniques that will be necessary in the elaboration of the proof of the main result. We will discuss notions of harmonic analysis, classical number theoretic techniques, as well as give an overview of smooth numbers. Chapter 2 will serve as an introduction to the theory pertaining to Dirichlet characters and character sums. Basic properties and classical theorems will be covered and we will provide a survey of recent results closely related to the main topic on interest in this thesis. We will give in Chapter 3 a first result which will lead this thesis to diverge into the field of lattices. It comes up as an auxiliary result to the main result, but bares an interest independent to characters. We will discuss the order of magnitude of multiples of a chosen lattice vector, when the multipliers lie in prescribed congruence classes. Chapter 4 will serve as a bridge between lattices and characters and we will study the consequences of applying the theorems we proved in Chapter 3 to characters. We will derive results that will be key to the proof of our main theorem. In Chapter 5, we will prepare the ground for the proof of our main theorem by unveiling some preliminary estimates that will be needed. In particular, the chapter will consist of two parts: one treating of exponential sums, while the other one will be concerned with smooth numbers. Finally, Chapter 6 will be the apex of this thesis and will provide the proof of our main result on character sums. The argument built in this chapter will allow us to prove a lower bound for the maximal value that can be reached by a character among the characters modulo a prime number q.