Le problème de Steklov paramétrique et ses applications

Abstract

Ce mémoire contient deux articles que j’ai rédigés au cours de ma maîtrise. Le premier chapitre sert d’introduction à ces articles. Plusieurs concepts de géométrie spectrale y sont présentés dans le contexte du problème de Steklov, en plus des résultats principaux des chapitres subséquents. Le second chapitre porte sur le problème de Steklov paramétrique sur des surfaces lisses. Un développement asymptotique complet des valeurs propres du problème est obtenu à l’aide de méthodes pseudodifférentielles. Celui-ci généralise l’asymptotique spectrale déjà connue du problème de Steklov classique. Nous en déduisons de nouveaux invariants géométriques déterminés par le spectre. Le troisième chapitre porte sur le problème de ballottement sur des prismes à base triangulaire. Le but est de comprendre comment les angles du prisme affectent le deuxième terme du développement asymptotique de la fonction de compte des valeurs propres. En construisant des quasimodes, nous obtenons une expression de ce terme que nous conjecturons comme étant la bonne pour les vraies valeurs propres. Cette conjecture est alors supportée par des expériences numériques.

This thesis contains two articles that I wrote during my M.Sc. studies. The first chapter serves as an introduction to both articles. Some concepts of spectral geometry in the context of the Steklov problem are presented, as well as the main results of the subsequent chapters. The second chapter concerns the parametric Steklov problem on smooth surfaces. We obtain a complete asymptotic expansion of the eigenvalues of the problem by using pseudodifferential techniques. This generalizes the already known spectral asymptotics of the classical Steklov problem. We deduce new geometric invariants determined by the spectrum. The third chapter concerns the sloshing problem on triangular prisms. The goal is to understand how the angles in the prism affect the second term in the asymptotic expansion of the eigenvalue counting function. By constructing quasimodes, we obtain an expression for this term that we conjecture as being correct for the true eigenvalues. This conjecture is then supported by numerical experiments.