La mesure de Mahler d’une forme de Weierstrass

Abstract

Ce mémoire a pour but de donner une introduction simple et brève à la mesure de Mahler et ses liens avec les fonctions-L de courbes elliptiques. Le point culminant de cette théorie se cache dans les conjectures de Bloch-Beı̆linson que nous tentons d’expliquer à la fin du chapitre 2, les deux premiers chapitres servant principalement à développer la matière nécessaire à leur compréhension et à introduire le problème principal de ce mémoire qui est de trouver une relation entre la mesure de Mahler de y 2 + 4xy + 2y − x 3 et la fonction-L de la courbe elliptique associée.

À cet effet, nous remarquons que la relation conjecturée par D. Boyd [1] est en fait fausse mais étudions tout de même les cycles d’homologie et les chemins d’intégration associés aux courbes elliptiques y 2 + 4xy + 2y − x 3 = 0 et (1 + x)(1 + y)(x + y) + 2xy = 0.

This master’s thesis goal is to give a simple and brief introduction about Mahler measure and its connections with elliptic curves L-functions. This theory culminates with the Bloch-Beı̆linson conjectures which we try to explain at the end of chapter 2, the first two chapters serving to introduce the necessary requirements to understand them and as a stepping stone to this master’s main question which is to find a link between the Mahler measure of y 2 + 4xy + 2y − x 3 and the L-function associated to it.

For this purpose, we see that the conjectured relation given by D. Boyd [1] is false but we still study the homology cycles and integration paths associated to the elliptic curves y 2 + 4xy + 2y − x 3 = 0 and (1 + x)(1 + y)(x + y) + 2xy = 0.