Au-delà des moindres carrés : mesurer les conséquences d'un modèle de régression linéaire surparamétré lors d'une application en cardiologie

Abstract

En cardiologie, on appelle RR la durée d'un cycle cardiaque et QT le temps requis par le cycle pour passer de l'état Q à l'état T. Une quantité importante pour les cardiologues est le QTc, la valeur de QT pour un RR de 1 seconde. Afin de l'estimer, des couples QT et RR sont mesurés et un modèle de régression est ajusté et évalué à RR = 1. Une difficulté importante est que les RR observés sont en général bien inférieurs à 1, menant à une extrapolation.

Des études préliminaires semblent indiquer que parmi les six modèles considérés par les chercheurs en cardiologie, le modèle le plus complet (trois paramètres) est surparamétré. Ce mémoire s'attarde dans un premier temps à démontrer cette surparamétrisation, puis à mesurer les conséquences de celle-ci lorsque ce modèle est utilisé afin d'estimer le QTc.

L'ensemble de toutes les courbes engendrées par le modèle le plus complet menant à des valeurs de QT vraisemblables lorsqu'appliquées à des valeurs de RR vraisemblables a été considéré. Pour chcune d'entre elles, il a été possible d'en trouver une autre suffisamment similaire pour deux des modèles parmi les six qui ne dépendent que de deux paramètres.

Afin de mesurer les conséquences d'une telle surparamétrisation, la procédure delta, ne nécessitant aucune hypothèse distributionnelle, a été élaborée puis appliquée. Au final, pour un modèle donné, le QTc a été estimé à partir de l'ensemble des courbes engendrant un critère des moindres carrés d'au plus delta = 1% supérieure au minimum. L'étendue des QTc ainsi obtenus suite à une extrapolation pour le modèle le plus complet est énorme. On en conclut que l'utilisation de ce modèle afin d'estimer le QTc est tout simplement à proscrire.

In cardiology, we denote by RR and QT the time lapse of the full cardiac cycle and of going from states Q to T, respectively. An important quantity for cardiologists is QTc, the value of QT when RR is 1 second. To estimate it, many couples of RR and QT are measured, a regression model is fitted and the prediction for RR = 1 is the estimated QTc. A major difficulty is that observed RRs are usually much less than 1, leading to an extrapolation.

Preliminary studies seem to suggest that among the six models considered by researchers in cardiology, the most general one (with three parameters) is overparametrized. This research first, demonstrates this overparametrization, and then measures its consequences when that model is used for estimating QTc.

The set of all curves from the most general model with QTs and RRs similar to those observed in cardiology is considered. For each of these curves, we found another one sufficiently similar from two of the two parameters models among the six considered.

To measure the impact of such an overparametrization, the delta procedure, requiring no distributional assumption, has been developed and applied. In the end, for a given model, the QTc has been estimated from the set of all curves leading to a least squares criterion at most delta = 1% over the minimum. The range of corresponding QTcs from the most general model, when resulting from an extrapolation, is huge. We therefore conclude that this model is not appropriate for estimating QTc.