Égalités et inégalités géométriques pour les valeurs propres du laplacien et de Steklov

Abstract

Ce mémoire est composé de trois parties : dans la première, des inégalités spectrales en lien avec la constante de Cheeger et de Jammes-Cheeger, son équivalent pour le problème de Steklov, sont présentées. Une borne supérieure pour les valeurs propres du laplacien sur une variété compacte sans bord est obtenue en généralisant un résultat de Buser. Ensuite une borne inférieure pour la k-ième valeur propre de Steklov ne dépendant que de la k-ième constante de Jammes-Cheeger est démontrée en adaptant une preuve de Lee, Gharan et Trevisan.

Dans la deuxième partie, il est montré qu’étant donné une variété M plongée dans R^(n+1), il n’existe pas de minimiseur des valeurs propres de Steklov parmi les variétés plongées dans R^(n+1) ayant pour bord ∂M .

Finalement dans la troisième partie, inspiré par des résultats de Christianson sur les triangles et simplex, la masse de Neumann sur le bord d’un polytope des fonctions propres de Dirichlet est étudiée. Une formule explicite exprimant la valeur propre en fonction de la masse de Neumann sur les faces du polytope de la fonction propre correspondante est prouvée.

This thesis is divided in three parts : in the first one, spectral inequalities based on the Cheeger constant and Jammes-Cheeger constant, its analogue for the Steklov problem, are introduced. An upper bound is obtained for the Laplace eigenvalues on a compact manifold without boundary by generalising a result from Buser. Then a lower bound for the k-th Steklov eigenvalue which depends only on the k-th Jammes-Cheeger constant is proved using a modified version of a proof by Lee, Gharan and Trevisan.

In the second part, it is shown that given a manifold M embedded in R^(n+1) , there does not exist a minimizer of the Steklov eigenvalues within the set of manifolds embedded in R^(n+1) with boundary ∂M .

Finally, in the third part of this thesis, inspired by Christianson’s results on triangles and simplices, the Neumann mass on the border of polytopes of a Dirichlet eigenfunction is studied. An explicit formula expressing the eigenvalue in terms of the Neumann mass on the faces of the polytope of the corresponding eigenfunction is proved.