Sur la structure cellulaire et la théorie de la représentation des algèbres de Temperley-Lieb à couture

Abstract

Ce mémoire étudie la théorie de la représentation des algèbres à couture Bn,k (β), introduites par Morin-Duchesne, Rasmussen et Ridout [21]. Elles sont paramétrisées par deux nombres entiers positifs n,k et un nombre complexe β qui est exprimé souvent à l’aide d’un autre paramètre q ∈ ℂˣ comme β = q + q−1. Ces algèbres unifères, associatives et de dimension finie admettent une définition diagrammatique ainsi qu’une réalisation de type Pk(ᵏ)TLn+k Pk(ᵏ) pour une famille d’idempotents Pk(ᴷ) issue des algèbres de Temperley-Lieb originales : les projecteurs de Wenzl-Jones. L’objectif est de caractériser les modules simples, projectifs et cellulaires. Un résultat majeur à cet effet est la preuve de la cellularité de cette famille d’algèbres pour la plupart des valeurs de β. Ce résultat est nouveau et facilite grandement l’étude. En résumé, le comportement dépend de la valeur de q : lorsque q est générique, l’algèbre Bn,k (β) est connue semi-simple ; le cas q racine de l’unité est plus riche et son étude occupe la grande partie de ce mémoire.

Le chapitre 1 présente la théorie de base des algèbres de Temperley-Lieb dans une optique pédagogique. Le chapitre 2 utilise l’exemple des algèbres de Temperley-Lieb pourintroduire les algèbres cellulaires. Dans le chapitre 3, les algèbres à couture sont introduites de trois façons : par générateurs et relations, diagrammatiquement et par les projecteurs de Wenzl-Jones ; l’isomorphisme entre les trois présentations est ensuite montré, sauf dans le cas où q 2ᵏ = 1. La cellularité et la théorie de la représentation sont ensuite étudiées pour q générique. Finalement, le chapitre 4 présente en trois étapes les résultats nouveaux en q racine de l’unité : la dimension des radicaux et des modules simples, la construction des morphismes non-triviaux entre les modules cellulaires et la caractérisation des modules indécomposables principaux.

This master’s thesis considers the representation theory of boundary seam algebras Bn,k (β), introduced by Morin-Duchesne, Rasmussen and Ridout [21]. Those unitary and associative algebras of finite dimension are parametrised by two positive integers n, k and a complex number β, expressed with q ∈ ℂˣ as β = q + q−1. They admit a diagrammatic definition and a realization of type Pk(ᵏ)TL n+k Pk(ᵏ) using the Temperley-Lieb algebra TLn+k and a family of idempotents Pk(ᵏ): the Wenzl-Jones projectors. We prove the cellularity in the sense of Graham and Lehrer [10] of this family of algebras for most values of β and use it to construct the simple, projective and cellular modules. Expressing β = q + q−1 for q ∈ ℂˣ, we get that the behaviour depends on the value of q : when it is generic, Bn,k (β) is semisimple; the case of q being a root of unity is richer and is studied in depth in chapter 4.

Chapter 1 pedagogically presents the theory of Temperley-Lieb algebras. Chapter 2 uses Temperley-Lieb algebras as examples to introduce cellular algebras. In chapter 3, boundary seam algebras are introduced in three different ways : by generators and relations, diagrammatically and by Wenzl-Jones projectors; the isomorphism between the three presentations is then shown except for the case q 2ᵏ = 1. The chapter finishes with the proof of the cellularity of Bn,k (β) and some of the representation theory results for q generic. Finally, chapter 4 presents in three steps the new results when q is a root of unity: the dimension of the radicals and of simple modules, the construction of the non-trivial morphisms between cellular modules and the characterisation of the principal indecomposable modules.