Sur le h-principe pour les immersions coisotropes et les classes caractéristiques associées

Abstract

Ce mémoire porte sur l’étude des fibrés vectoriels symplectiques et de leurs sous-fibrés spéciaux. Au premier chapitre, nous rappellerons la définition de ces fibrés et démontrerons un résultat fondamental permettant de réduire l’étude des fibrés symplectiques à celle des fibrés complexes. Ce résultat sera également essentiel à l’exploration de la topologie symplectique faite au second chapitre. De par son but expositoire, ledit chapitre est assez indépendant des autres, quoiqu’il aide grandement à placer les résultats à suivre dans l’ensemble de la topologie symplectique. Au troisième chapitre, nous rappellerons quelques notions nécessaires à la compréhension des h-principes et énoncerons la famille de h-principes qui nous sera d’importance pour la suite des choses. Le quatrième chapitre révisera les travaux de Lalonde sur les classes caractéristiques isotropes. Ces classes de cohomologie apparaissent dans l’étude des immersions isotropes dans l’espace symplectique standard grâce à une forme du h-principe introduit au chapitre précédent. Finalement, le cinquième et dernier chapitre reprendra les idées du chapitre précédent pour définir des classes caractéristiques coisotropes qui apparaissent dans l’étude des immersions coisotropes grâce à un autre h-principe de la même famille. Ces classes s’avéreront cependant être identique à leur analogue isotrope, ne détectant pas les différences existant pourtant entre les h-principes isotrope et coisotrope, malgré leurs similitudes, dont la dernière section du mémoire est dédiée à l’exposition.

This master’s thesis is concerned with symplectic vector bundles and their special subbundles. In the first chapter, we will recall the definition of those bundles and will show a fundamental result which reduces the study of symplectic vector bundles to the one of complex vector bundles. This result will also be crucial for the exposition of symplectic topology in the next chapter. The second chapter serves as a broad exposition of symplectic topology for those unfamiliar with the subject and thus, is fairly independent from the others. However, the chapter greatly helps to understand how the results of the subsequent chapters fit in the whole of symplectic topology. In the third chapter, we will recall some notions necessary to the understanding of h-principles and enunciate the theorem that will be important to us for the rest of the thesis. The fourth chapter will revisit the work of Lalonde in [17] and [16] on isotropic characteristic classes. Those cohomology classes appear in the study of isotropic immersions into the standard symplectic space (R2n;!0) thanks to a form of the previously introduced h-principle. Finally, the fifth and last chapter of this master’s thesis will use the ideas of the previous chapter in order to define coisotropic characteristic classes, which will appear in the study of coisotropic immersions thanks to another h-principle in the same family. Those classes will turn out to be the same as their isotropic counterpart and thus, will not detect the differences that exist between the isotropic and coisotropic h-principles. A discussion of these differences will serve as a closer to the chapter.