Fukaya categories of Lagrangian cobordisms and duality

Abstract

On introduit un nouveau type de structure de dualité pour les A_∞-catégories appelée correspondance de Calabi-Yau faible relative qui généralise la notion de Kontsevich et Soibelman d'une structure de Calabi-Yau faible (propre). On démontre l'existence d'une correspondance de Calabi-Yau faible relative sur la catégorie de Fukaya de cobordismes lagrangiens Fuk_cob(C x M) de Biran et Cornea. Ici M est une variété symplectique fermée ou convexe à l'infini. Cette structure de dualité sur Fuk_cob(C x M) étend la dualité relative de Poincaré satisfaite par les complexes de Floer pour les paires de cobordismes lagrangiens. De plus, on montre que la correspondance de Calabi-Yau faible relative sur Fuk_cob(C x M) satisfait à une condition de compatibilité avec la structure de Calabi-Yau faible usuelle sur la catégorie de Fukaya monotone de M.

La construction de la correspondance de Calabi-Yau faible relative sur Fuk_cob(C x M) est basée sur des comptes de courbes dans C x M satisfaisant à une équation de Cauchy-Riemann non linéaire non homogène. Afin de démontrer l'existence de cette structure de dualité et de vérifier ses propriétés, on étend les méthodes de Biran et Cornea pour établir des résultats de régularité et de compacité pour les espaces de modules pertinents. On considère également les implications de l'existence de la correspondance de Calabi-Yau faible relative sur Fuk_cob(C x M) pour la décomposition en cônes dans la catégorie de Fukaya dérivée de M associée à un cobordisme lagrangien et on présente un exemple concernant la chirurgie lagrangienne.

We introduce a new type of duality structure for A_∞-categories called a relative weak Calabi-Yau pairing which generalizes Kontsevich and Soibelman's notion of a weak (proper) Calabi-Yau structure. We prove the existence of a relative weak Calabi-Yau pairing on Biran and Cornea's Fukaya category of Lagrangian cobordisms Fuk_cob(C x M). Here M is a symplectic manifold which is closed or tame at infinity. This duality structure on Fuk_cob(C x M) extends the relative Poincaré duality satisfied by Floer complexes for pairs of Lagrangian cobordisms. Moreover, we show that the relative weak Calabi-Yau pairing on Fuk_cob(C x M) satisfies a compatibility condition with respect to the usual weak Calabi-Yau structure on the monotone Fukaya category of M. The construction of the relative weak Calabi-Yau pairing on Fuk_cob(C x M) is based on counts of curves in C x M satisfying an inhomogeneous nonlinear Cauchy-Riemann equation. In order to prove the existence of this duality structure and to verify its properties, we extend the methods of Biran and Cornea to establish regularity and compactness results for the relevant moduli spaces. We also consider the implications of the existence of the relative weak Calabi-Yau pairing on Fuk_cob(C x M) for the cone decomposition in the derived Fukaya category of M associated to a Lagrangian cobordism, and we present an example involving Lagrangian surgery.