Configurations centrales en toile d'araignée

Abstract

Ce mémoire est consacré à une classe remarquable de solutions du problème des N corps appelées configurations centrales. Ces configurations, notamment pour des corps coplanaires, sont étroitement liées aux solutions homographiques : en tout temps, la position des corps est obtenue par homothétie et/ou rotation de la position initiale. Notre objectif est d’étudier l’existence de configurations centrales en toile d’araignée données par n×ℓ masses disposées aux points d’intersection de n cercles concentriques avec ℓ demi-droite concourante, sous l’hypothèse que les ℓ masses du i ᶱ cercle sont égales à une constante positive mᵢ ; nous discutons également le cas où nous ajoutons une masse centrale m₀ au point de concours des ℓ demi-droites. Une première méthode analytique amène à l’existence de ces configurations centrales lorsque n = 2,3,4 et ℓ arbitraire pour n’importe quelles valeurs strictement positives de m₁, . . . , mₙ. Une seconde méthode analytique donne l’existence et l’unicité de telles configurations centrales lorsqu’on contraint ℓ à être égal à 2, . . . ,9 et n arbitraire pour n’importe quelles valeurs strictement positives de m₁, . . . , mₙ. De plus, nous étendons le résultat pour ℓ = 10, . . . ,18 en imposant m₁ ≥ · · · ≥ mₙ et en bornant la valeur de n dans chaque cas. En outre, pour ces deux méthodes analytiques, nous démontrons que les résultats restent vrais pour les configurations a N = n × ℓ + 1 corps, c’est-à-dire lorsqu’on ajoute une masse strictement positive au centre de masse. Enfin, nous donnons un algorithme permettant de prouver rigoureusement l’existence et l’unicité locale d’une telle configuration centrale avec un choix arbitraire de n, ℓ et m₁, . . . , mₙ. L’algorithme est applique à tous les n ≤ 100 et toutes les valeurs paires ℓ ≤ 200 lorsque m₁ = . . . = mₙ = 1/ℓ. Ceci est suffisant pour montrer l’existence des configurations centrales en toile d’araignée pour tout n ≤ 100, ℓ ≤ 200 pair et telles que m₁ = . . . = mₙ pour n’importe quelle valeur strictement positive.

This thesis is dedicated to the study of a specific class of solutions for the N-body problem called central configurations. These configurations, especially in the planar case, are closely related to homographic solutions: at any time, the position of the bodies can be obtained by a rotation and/or a rescaling of the initial position. Our aim is to prove the existence of spiderweb central configurations given by n × ℓ masses located at the intersection of n concentric circles with ℓ concurrent half-lines, under the hypothesis that the ℓ masses on the i-th circle are equal to a positive constant mᵢ ; we also discuss the case where we add a central mass m₀ located at the intersection of the ℓ halflines. A first analytical method leads to the existence of these central configurations when n = 2,3,4 and ℓ arbitrary for any strictly positive values of m₁, . . . ,mₙ. A second analytical method yields the existence and uniqueness of such central configurations when we restrict ℓ to be equal to 2, . . . ,9 and n arbitrary for any strictly positive values of m₁, . . . , mₙ. In addition, we extend the result for ℓ = 10, . . . ,18 by requiring m₁ ≥ · · · ≥ mₙ and bounding the value of n in each case. Furthermore, for these two analytical methods, we demonstrate that the results hold for spiderweb configurations with N = n × ℓ + 1 bodies, that is when we add a strictly positive mass at the center of mass. Finally, we give an algorithm providing a rigorous proof of the existence and local uniqueness of such a central configuration with an arbitrary choice of n, ℓ and m₁, . . . , mₙ. The algorithm is applied to all n ≤ 100 and all even values ℓ ≤ 200 when m₁ = . . . = mₙ = 1/ℓ. This is enough to show the existence of spiderweb central configurations for all n ≤ 100, ℓ ≤ 200 even and such that m₁ = . . . = mₙ for any value strictly positive.