La théorie de la représentation de l'algèbre de Temperley-Lieb

Abstract

Le but de ce mémoire est d’étudier la théorie de la représentation des algèbres de Temperley-Lieb à une frontière TLbn(β,β1,β2), où β1,β2 ∈ C et β = q+q−1 avec q ∈ C∗. Ces algèbres sont associatives, unifères et de dimensions finies. Elles généralisent les algèbres de Temperley-Lieb dites ordinaires, notées TLn(β). Notre objectif sera de caractériser les représentations irréductibles et principales de TLbn. Pour des valeurs génériques des paramètres, ces algèbres sont semisimples. Or, pour certaines spécialisations des paramètres, l’algèbre n’est pas semisimple et les représentations irréductibles, principales et cellulaires sont, en général, distinctes. Dans le chapitre 1, il est démontré que la présentation diagrammatique et celle en termes de générateurs et relations de TLbn sont isomorphes et quelques propriétés de base sont calculées. Dans le chapitre 2, la cellularité des algèbres TLbn est démontrée et les modules cellulaires sont calculés. Une forme bilinéaire est introduite sur ceux-ci. Les chapitres 3 et 4 étudient les radicaux des modules cellulaires et une description des modules irréductibles et principaux, pour q générique et β1, β2 quelconques, est donnée. En particulier, notre analyse inclut le cas β2 = 0.

The goal of this Master’s thesis is to study the representation theory of the one boundary Temperley-LiebalgebrasTLbn(β,β1,β2),whereβ1,β2 ∈Candβ=q+q−1 withq∈C∗. These are unitary associative algebras of finite dimensions which generalize the more familiar regular Temperley-Lieb algebras TLn(β). Our aim is to classify their irreducible and principal representations. For generic values of the parameters, TLbn is semisimple. However, for certain specializations of the parameters q,β1,β2, the algebra is not semisimple and in that case, the irreducible, principal and cellular representations are distinct in general. In chapter 1 it is shown that TLbn(β,β1,β2) admits a diagramatic presentation which is isomorphic to the formulation in terms of generators and relations. In chapter 2, it is shown that the one boundary Temperley-Lieb algebras are cellular algebras and the associated cell modules are computed. An invariant bilinear form is defined on the cell modules. Chapters 3 and 4 study the radicals of the cell modules, leading to the identification of the irreducible and principal modules for any β1,β2 ∈ C and generic q. In particular, the β2 = 0 case is included in our analysis.