Extensions supersymétriques des équations structurelles des supervariétés plongées dans des superespaces

Abstract

Le but de cette thèse par articles est d’étudier certains aspects géométriques des supervariétés associées aux systèmes supersymétriques intégrables. Ce travail a abouti en quatre articles publiés et un article présentement soumis dans des revues internationales avec des comités de lecture. Dans le premier article, deux extensions supersymétriques des équations de Gauss–Weingarten et de Gauss– Codazzi pour des surfaces plongées dans des superespaces euclidiens ont été construites. Cela a permis de fournir une caractérisation géométrique de telles surfaces avec des vecteurs tangents linéairement indépendants orientés dans la direction des déplacements infinitésimaux des dérivées fermioniques covariantes. De plus, une étude des symétries des versions supersymétriques des équations de Gauss–Codazzi a permis de construire des solutions invariantes au moyen de la méthode de réduction par symétrie impliquant les variables bosoniques et fermioniques, ce qui a mené à des surfaces non triviales, par exemple des surfaces à courbure de Gauss nulle. Dans le second article, l’extension aux cas supersymétriques d’une conjecture énonçant les conditions nécessaires pour qu’un système soit intégrable au sens de la théorie des solitons a été formulée. Cela a été accompli en introduisant un nouvel opérateur de projection et en comparant les symétries du système original avec celles du problème linéaire associé. Cette conjecture a été appliquée à certains exemples et un paramètre « spectral » fermionique a été introduit dans un des systèmes. Dans le troisième article, deux versions supersymétriques de la formule de Fokas–Gel’fand pour l’immersion de surfaces solitoniques dans une superalgèbre de Lie ont été construites. La caractérisation géométrique de la fonction d’immersion, présentée dans cet article, a permis d’investiguer les comportements des surfaces associées. Ces considérations théoriques ont été appliquées à l’équation de sine-Gordon supersymétrique pour laquelle des surfaces à courbure de Gauss constante et de type Weingarten non linéaire ont été obtenues. Le quatrième article est dévoué aux propriétés d’intégrabilité de l’équation de sine-Gordon supersymétrique et à la construction de solutions multisolitoniques explicites. Deux types de problèmes linéaires spectraux, une version supersymétrique d’un ensemble d’équations de Riccati couplées et la transformation d’auto-Bäcklund, tous équivalents à l’équation de sine-Gordon supersymétrique, ont été étudiés. De plus, une analyse détaillée de la énième transformation de Darboux a permis de trouver des solutions multisolitoniques non triviales de l’équation de sine-Gordon supersymétrique. Ces solutions ont été utilisées pour investiguer la version supersymétrique bosonique de la formule d’immersion de Sym–Tafel. Dans le cinquième article, une nouvelle caractérisation géométrique de la formule d’immersion de Fokas–Gel’fand est présentée. Afin d’accomplir cela, trois différents types de problèmes linéaires spectraux sont étudiés, un impliquant les dérivées fermioniques covariantes, un impliquant les dérivées par rapport aux variables bosoniques et un impliquant les dérivées par rapport aux variables fermioniques. Cette caractérisation géométrique implique huit coefficients linéairement indépendants pour les première et deuxième formes fondamentales, contrairement à trois dans le troisième article, ce qui mène à une géométrie plus riche dans le sens où les supervariétés caractérisées de type unidimensionnel (« curve-like ») dans le troisième article sont de type multidimensionnel dans le cinquième article.

The goal of this thesis consisting of articles is to study certain geometric aspects of supermanifolds associated with integrable suspersymmetric systems. This work is contained in four published articles and one currently submitted article in international peer-reviewed journals. In the first article, two supersymmetric extensions of the Gauss–Weingarten and Gauss–Codazzi equations for surfaces immersed in Euclidean superspaces were constructed. This allowed us to provide a geometric characterization of such surfaces with linearly independent tangent vectors oriented in the directions of the infinitesimal displacement of the fermionic covariant derivatives. In addition, a study of the symmetries of the supersymmetric versions of the Gauss–Codazzi equations led to the construction of invariant solutions, involving bosonic and fermionic variables, through the symmetry reduction method, which led to nontrivial surfaces, e.g. vanishing Gauss curvature surfaces. In the second article, a conjecture stating the necessary conditions for a system to be integrable in the sense of soliton theory was extended to the supersymmetric cases. This was accomplished by introducing a new projection operator and by comparing the symmetries of the original system to those of the associated linear problem. This conjecture was applied to some examples and a fermionic “spectral” parameter was introduced in one of the systems. In the third article, two supersymmetric versions of the Fokas–Gel’fand formula for the immersion of soliton surfaces in Lie superalgebras were constructed. The geometric characterization of the immersion function presented in this article allowed us to investigate the behavior of the associated surfaces. These theoretical considerations were applied to the supersymmetric sine-Gordon equation, for which constant Gaussian curvature surfaces and nonlinear-type surfaces were obtained. The fourth article was devoted to integrability properties of the supersymmetric sine-Gordon equation and to the construction of explicit multisoliton solutions. Two types of linear spectral problems, a set of coupled super-Riccati equations and the auto-Bäcklund transformation, all equivalent to the supersymmetric sine-Gordon equation, were studied. In addition, a detailed analysis of the nth Darboux transformations allowed us to find nontrivial multisoliton solutions of the supersymmetric sine-Gordon equation. These solutions were used to investigate the bosonic supersymmetric version of the Sym–Tafel immersion formula. In the fifth article, a new geometric characterization of the Fokas–Gel’fand immersion formula was presented. In order to do this, three different types of linear spectral problems were studied, one involving the covariant fermionic derivatives, one involving the bosonic variable derivatives and one involving the fermionic variable derivatives. This geometric characterization involves eight linearly independent coefficients for both the first and second fundamental forms, in constrast with three such coefficients in the third article, which leads to a richer geometry in the sense that curve-like supermanifolds in the third article are of higher dimensions in the fifth article.