Étude de la marche aléatoire biaisée en milieu aléatoire

Abstract

L'objectif de ce mémoire est de donner une introduction aux marches aléatoires en milieux aléatoires (MAMA). Le domaine des MAMA est vaste; nous nous intéressons particulièrement aux modèles où la marche est transiente dans une direction afin d'y étudier les comportements asymptotiques.

Nous présenterons plusieurs modèles et les résultats principaux associés. Nous verrons également quelques techniques de base utilisées dans ce domaine. L'un des outils qui aura permis le plus de progrès dans l'étude des MAMA est la structure de renouvellement. Elle permet entre autres de répondre à des questions concernant la vitesse d'une marche aléatoire biaisée. Cette dernière constitue l'objet de ce mémoire. Nous traitons la question suivante: est-ce que la vitesse d'une marche aléatoire biaisée sur un arbre de Galton-Watson est monotone par rapport à son environnement? Nous répondons par l'affirmative pour un biais assez élevé.

The main goal of this Master thesis is to provide an introduction to the random walks in random environments (RWRE). This is a vast domain, our interest will be on models where the walk is directionnally transient in order to study asymptotical behavior. We will present severals models and associated mains results. We will see some basic techniques used in this field. One of the tools that has made the most progress is the renewal structure which allows us to answer questions about the speed of the biased random walk. This is the subject of this thesis, we deal with the following question : Is the speed of the biaised random walk on a Galton-Watson tree monotonous with respect to the environnement ? We answer in the affirmative for a high bias.