«Sur la figure des colonnes» de Lagrange revisité

Abstract

Le problème du flambage de la colonne a été formulé par Lagrange vers 1770 et sa résolution a fait l'objet de nombreux travaux. Plusieurs solutions ont été proposées, mais toutes comportaient des erreurs. Lagrange, lui-même, avait trouvé que la colonne optimale était un cylindre droit, ce qui fut démontré sous-optimal par la suite. Les solutions erronées et publiées étaient principalement dues au fait que le problème n'est pas différentiable à l'optimum. En 1992, Cox et Overton ont revisité des variantes de ce problème et ont montré l'existence d'une solution pour des profils bornés inférieurement et supérieurement par des constantes strictement positives en utilisant la dualité d'Auchmuty et le gradient généralisé de Clarke. Pour Egorov, les hypothèses a priori de Cox et d'Overton ne permettent pas d'affirmer l'existence de solutions, car elles éliminent la possibilité de profils dégénérés.

Dans ce mémoire, on étudiera la forme optimale sans imposer de bornes a priori et l'on cherchera à extraire toute l'information. Dans un premier temps, on a étudié la version discrétisée du problème qui permet de travailler avec des espaces de dimension finie et d'obtenir l'existence d'une colonne optimale dans tous les cas. Le problème conserve cependant ses caractéristiques et demeure non différentiable. Essentiellement, on maximise la première valeur propre généralisée par rapport à des ensembles de volume constant. Comme la plus petite valeur propre est Hadamard semi-différentiable, il est possible de caractériser l'optimalité et de faire des calculs. Dans un deuxième temps, on a élargi l'espace de Sobolev des flexions pour permettre l'étude de la maximisation par rapport à des profils possiblement dégénérés. Ces nouveaux espaces « sur mesure » introduisent de nouveaux défis mathématiques.

Le problème du flambage de la colonne est un cas particulier des problèmes impliquant l'optimisation de la plus petite valeur propre lorsqu'elle n'est pas simple. Ceci donne à ce travail une portée mathématique et numérique beaucoup plus grande.

The column's bucking load problem was formulated by Lagrange around 1770. There were many solutions proposed, but all contained some errors. Lagrange himself claimed the solution had a straight cylinder section, which was found to be suboptimal later. False solutions were mainly caused by the non-differentiability of the problem. In 1992, Cox and Overton revisited the problem using Auchmuty's dual principle and Clarke's generalized gradient. They established the existence of a solution by only considering columns whose profile is bounded above and below by some positive constants. According to Egorov, Cox and Overton's a priori hypothesis excluded possibly degenerated column's profiles and, as a consequence, they cannot justify and claim the existence of solutions.

In this Master's thesis, we will study the optimal shape/profile problem and look for all the available information without assuming the existence of a priori bounds. Firstly, we will study the discrete form of the problem which will allow us to restrict the problem in finite dimension and guarantee the existence. Nonetheless, the problem will still be non-differentiable as it will keep his important characteristics. Essentially, in both continuous and discrete versions, we want to maximize the first generalized eigenvalue under a constant volume constraint. Since the problem is Hadamard semidifferentiable, a necessary optimality condition can be obtained. But in this work we rather concentrated on including possibly degenerate profiles by enlarging the Sobolev space of inflections for the minimization problem. Those new "custom-made" spaces are better suited for our purpose but, at the same time, they introduce new mathematical challenges.

The column's bucking load problem can be viewed as a generic problem of optimizing the least non-simple eigenvalue. Therefore, this work is relevant in a broader perspective for mathematical and numerical purposes.