Géométrie algébrique : théorèmes d'annulation sur les variétés toriques

Abstract

Ce mémoire se veut une bonne introduction au sujet des variétés toriques ainsi qu’à la théorie des faisceaux. On exposera des résultats déjà présents dans la littérature, mais dont les preuves sont partielles, découpées dans plusieurs sources ou simplement trop complexes pour un lecteur débutant. On synthétisera et détaillera ces résultats en limitant (dans la mesure du possible) les connaissances requises à leur compréhension. On terminera ce mémoire par la démonstration de théorèmes d’annulation, permettant entre autres d’aborder la preuve (pour les variétés toriques) du théorème de Grauert-Riemenschneider. Prérequis : des connaissances de base sur les variétés algébriques ou sur l’homologie pourraient aider à mieux appréhender les concepts discutés dans ce mémoire, et certains exemples font référence aux surfaces de Riemann ou aux CW-complexes. Toutefois, aucune connaissance de niveau gradué n’est nécessaire.

This master’s thesis is meant to be a good introduction to toric varieties and sheaves theory. We will show some results already present in the literature whose proofs are either incomplete, divided in multiple sources or too complex for a novice. We will synthesize and detail these results while avoiding (as much as possible) required knowledge of the subject. We will finish this thesis with a proof of some vanishing theorems, required to tackle the Grauert-Riemenschneider theorem’s proof (in the toric case). Prerequisite : some basic knowledge of algebraic varieties or homology would help understand some of the concepts we discuss and a few examples we give refer to Riemann surfaces or CW complexes. But no knowledge past undergraduate-level is required.