La distribution des zéros des fonctions L

Abstract

Selon la philosophie de Katz et Sarnak, la distribution des zéros des fonctions $L$ est prédite par le comportement des valeurs propres de matrices aléatoires. En particulier, le comportement des zéros près du point central révèle le type de symétrie de la famille de fonctions $L$. Une fois la symétrie identifiée, la philosophie de Katz et Sarnak conjecture que plusieurs statistiques associées aux zéros seront modélisées par les valeurs propres de matrices aléatoires du groupe correspondant. Ce mémoire étudiera la distribution des zéros près du point central de la famille des courbes elliptiques sur $\mathbb{Q}[i]$. Brumer a effectué ces calculs en 1992 sur la famille de courbes elliptiques sur $\mathbb{Q}$. Les nouvelles problématiques reliées à la généralisation de ses travaux vers un corps de nombres seront mises en évidence

The Katz and Sarnak philosophy states that the distribution laws of zeros of $L$-functions follow the distribution laws of eigenvalues of random matrices. The zeros near the central point would reveal the symmetry type of our family of $L$-functions. Once the symmetry has been identified, it is conjectured that many statistics associated to the zeros would be predicted by the eigenvalues of the corresponding group of random matrices. This thesis will study the low-lying zeros of the family of elliptic curves over $\mathbb{Q}[i]$. Brumer computed the symmetry type of the family of elliptic curves over $\mathbb{Q}$ in 1992. New challenges arising from this generalisation over number fields of his work will be revealed in this thesis.