Disintegration methods in the optimal transport problem

Abstract

Ce travail consiste à expliciter des techniques applicables à certaines classes de problèmes de transport (Optimal Transport). En effet, le problème de transport est une formulation abstraite d'un problème d'optimisation qui s'étend aujourd'hui à une panoplie d'applications dans des domaines très diversifiés (météorologie, astrophysique, traitement d'images, et de multiples autres). Ainsi, la pertinence des méthodes ici décrites s'étend à beaucoup plus que des problèmes mathématiques. En particulier, ce travail cherche à montrer comment certains théorèmes qui sont habituellement présentés comme des problèmes combinatoires qui valent sur des ensembles finis peuvent être généralisés à des ensembles infinis à l'aides d'outils de théorie de la mesure: le théorème de décomposition de mesures. Ainsi, le domain d'application concret de ces techniques s'en trouve grandement élargi au moyen d'une plus grande abstraction mathématique.

The present work hopes to illustrate certain techniques that can be applied to certain classes of Optimal Transport problems. Today, the Optimal Trans- port problem has come to be a mathematical formulation of very diverse problems (meteorology, astrophysics, image processing, etc.) Thus, the per- tinence of the methods described is much larger than mathematical problems. In particular, it is shown how certain theorems that are usually approached with combinatorial tools over nite sets can be extended by measure-theoretic tools to in nite sets. We see that this higher level of abstraction gives rise to more powerful and widely-applicable tools, in very concrete problems.