Algèbres de Temperley-Lieb, Birman-Murakami-Wenzl et Askey-Wilson, et autres centralisateurs de U_q(sl_2)

Abstract

Ce mémoire contient trois articles reliés par l'idée sous-jacente d'une généralisation de la dualité de Schur-Weyl. L'objectif principal est d'obtenir une description algébrique du centralisateur de l'image de l'action diagonale de U_q(sl_2) dans le produit tensoriel de trois représentations irréductibles, lorsque q n'est pas une racine de l'unité. La relation entre une algèbre de Askey-Wilson étendue AW(3) et ce centralisateur est examinée à cet effet. Dans le premier article, les éléments du centralisateur de l'action de U_q(sl_2) dans son produit tensoriel triple sont définis à l'aide de la matrice R universelle de U_q(sl_2). Il est montré que ces éléments respectent les relations définissantes de AW(3). Dans le deuxième article, la matrice R universelle de la superalgèbre de Lie osp(1|2) est utilisée de manière similaire avec l'algèbre de Bannai-Ito BI(3). Dans ce cas, le formalisme de la matrice R permet de définir l'algèbre de Bannai-Ito de rang supérieur BI(n) comme le centralisateur de l'action de osp(1|2) dans son produit tensoriel n-fois. Le troisième article propose une conjecture qui établit un isomorphisme entre un quotient de AW(3) et le centralisateur de l'image de l'action diagonale de U_q(sl_2) dans le produit tensoriel de trois représentations irréductibles quelconques. La conjecture est prouvée pour plusieurs cas, et les algèbres de Temperley-Lieb, Birman-Murakami-Wenzl et Temperley-Lieb à une frontière sont retrouvées comme quotients de l'algèbre de Askey-Wilson.

This master thesis contains three articles related by the underlying idea of a generalization of the Schur-Weyl duality. The main objective is to obtain an algebraic description of the centralizer of the image of the diagonal action of U_q(sl_2) in the tensor product of three irreducible representations, when q is not a root of unity. The connection between a centrally extended Askey-Wilson algebra AW(3) and this centralizer is examined for this purpose. In the first article, the elements of the centralizer of the action of U_q(sl_2) in its threefold tensor product are defined with the help of the universal R-matrix of U_q(sl_2). These elements are shown to satisfy the defining relations of AW(3). In the second article, the universal R-matrix of the Lie superalgebra osp(1|2) is used in a similar fashion with the Bannai-Ito algebra BI(3). In this case, the formalism of the R-matrix allows to define the higher rank Bannai-Ito algebra BI(n) as the centralizer of the action of osp(1|2) in its n-fold tensor product. The third article proposes a conjecture that establishes an isomorphism between a quotient of AW(3) and the centralizer of the image of the diagonal action of U_q(sl_2) in the tensor product of any three irreducible representations. The conjecture is proved for several cases, and the Temperley-Lieb, Birman-Murakami-Wenzl and one-boundary Temperley-Lieb algebras are recovered as quotients of the Askey-Wilson algebra.