Classification de systèmes intégrables en coordonnées cylindriques en présence de champs magnétiques

Abstract

En absence de champ magnétique, le mouvement quadratiquement intégrable en trois dimensions d'une particule classique ou quantique soumise à un potentiel scalaire peut être caractérisé à l'aide du Hamiltonien et de deux intégrales de mouvement quadratiques en composantes de la quantité de mouvement. Il existe alors onze types de tels systèmes intégrables, chacun correspondant à un système de coordonnées dans lequel la séparation des variables dans l'équation de Hamilton-Jacobi ou de Schrödinger est possible. On trouve alors, dans chaque cas, une forme plus explicite pour chacune des intégrales de mouvement ainsi que pour le potentiel scalaire.

Il semble logique de s'intéresser à l'influence d'un champ magnétique pour chacune des situations. Il s'agit alors de postuler les mêmes types d'intégrales de mouvement trouvées pour chacun des types de mouvement, ajouter un potentiel vecteur au Hamiltonien et refaire le travail de classification. Ce mémoire s'intéresse particulièrement au cas des coordonnées cylindriques. Il est à noter qu'avec la présence d'un champ magnétique, les intégrales ne garantissent pas la séparation complète des variables, mais une séparation partielle est possible dans plusieurs cas.

In absence of a magnetic field, the quadratically integrable three-dimensional motion of a classical or quantum particle subject to a scalar potential can be characterized by the Hamiltonian and two integrals of motion which are quadratic in the components of momentum. There exist eleven types of such integrable systems, each corresponding to a system of coordinates in which separation of variables in the Hamilton-Jacobi or Schrödinger equation is possible. In each case, it is then possible to find a more explicit form for each of the integrals of motion and for the scalar potential.

It seems logical to look at the influence of a magnetic field for each of these situations. The process consists of postulating the same type of integrals of motion previously found for each type of motion, add a vector potential to the Hamiltonian and redo the classification work. This master's thesis will mostly treat the case of cylindrical coordinates. It is important to note that in the presence of a magnetic field, these integrals do not guarantee a complete separation of variables, but a partial separation is possible in many cases.