Simulation et analyse modale du transport de chaleur dans les réseaux à dimensionnalité réduite

Abstract

La présente thèse porte sur la simulation de matériaux à dimensionnalité réduite, en particulier des modèles de chaînes d’oscillateurs et du graphène, au regard de leurs propriétés pour le transport thermique par phonons. \MG{L'intérêt pour le transport de chaleur dans les matériaux possède une longue histoire et s'explique aujourd'hui par ses implications dans les domaines de la sécurité dans l'aérospatial, de la fiabilité des dispositifs en microélectronique, de la production d'électricité de même qu'une multitude d'autres enjeux liés à l'efficacité énergétique. L'accent mis dans les dernières décennies sur les matériaux à dimensionnalité réduite découle à son tour de l'explosion du nombre de ces matériaux qui peuvent maintenant être produit en laboratoire et par leurs propriétés exotiques. En effet, les particularités de la physique statistique associées aux systèmes en une ou deux dimensions permettent de s'affranchir des limitations liées à la loi de Fourier, presque universellement valide en trois dimensions, et ainsi de développer des dispositifs aux propriétés inatteignables auparavant.} Les contributions qui composent cette thèse mettent en œuvre des algorithmes de dynamique moléculaire interprétés selon le formalisme de la théorie de la réponse linéaire et de l’analyse des modes normaux. Des raffinements à ces algorithmes sont aussi présentés, permettant de mieux comprendre les fonctions de corrélation du flux de chaleur. Un accent particulier est mis sur les effets de corrélation qui vont au-delà du modèle du gaz de phonons.

Le rapport entre ces effets et le phénomène de conductivité thermique anormale, qui désigne des matériaux dont la conductivité thermique augmente en fonction de la taille du système sous étude, est exploré dans des modèles « jouets » de chaînes d’oscillateurs unidimensionnelles. Plus spécifiquement, des variantes du modèle de Fermi-Pasta-Ulam, les modèles FPU-$\beta$, FPU-$\alpha\beta$ sont traitées. Ces deux modèles représentent des chaînes d'oscillateurs anharmoniques en une seule dimension, chacun possédant un terme d'interaction légèrement différent. Celles-ci sont mises en contraste avec le modèle $\phi^4$, un autre modèle de chaîne anharmonique, mais qui présente plutôt une conductivité thermique normale. Nos calculs démontrent la présence de fortes excitations collectives dans chacun des cas, invalidant l’idée, mise de l’avant dans des études précédentes, que ces excitations sont la cause de la conductivité thermique anormale. Le modèle FPU-$\beta$ est simulé pour plusieurs valeurs du paramètre d’anharmonicité $\beta$ et montre clairement une conductivité thermique anormale dans le régime de quasi-récurrence (stochasticité faible) et dans le régime chaotique (stochasticité forte), ce qui contredit aussi la conception préalable selon laquelle une dynamique chaotique génère une conductivité thermique normale.

Ensuite, le transport thermique dans le graphène est exploré. Nos simulations, qui présentent un très bon accord avec l’expérience, montrent que la majorité du transport s’effectue par l’intermédiaire des modes de flexions. Ceci s’explique par des effets collectifs importants qui permettent à ces modes d’acquérir des temps de relaxation effectifs allant au-delà de la nanoseconde. Cet effet est toutefois dissipé par l’interaction entre les plans dans le graphite. De plus, nos calculs montrent qu’il est possible d’utiliser la déformation du réseau pour faire passer ce matériau d’un régime de conductivité normal à un régime dans lequel la conductivité augmente de façon logarithmique en fonction de la taille.

Finalement, nous présentons un algorithme permettant l’emploi de la dynamique moléculaire pour le calcul des modes propres des relaxons, une quasiparticule représentant l’action collective d’un groupe de phonons. Cet algorithme est mis à l’œuvre pour l’analyse du système FPU-$\beta$. Les vecteurs propres des relaxons ainsi obtenus montrent qu’un certain nombre d’entre eux sont composés d’un petit groupe de phonons de grandes longueurs d’onde agissant en phase. Les autres sont composés de phonons de courtes longueurs d’onde s’additionnant de façon aléatoire, ce qui donne à ces relaxons une très faible vitesse de groupe. Les temps de vie des relaxons sont généralement du même ordre que ceux des phonons, quoiqu’il existe dans chaque système un relaxon dont le temps de vie est supérieur à celui de tous les phonons.

De manière générale, les résultats présentés dans cette thèse soulignent l'importance et l'ubiquité des effets collectifs produits par les interactions anharmoniques entre phonons dans les matériaux à dimensionnalité réduite. Ces effets sont observables dans tous les systèmes étudiés et génèrent parfois des apports énormes à la conductivité. Les propriétés générales de ces modes collectifs ne sont pas encore bien connues et devront encore être étudiées dans le futur. Néanmoins, les outils théoriques présentés dans cette thèse, particulièrement au chapitre 4, constituent une approche féconde pour y parvenir.

This thesis showcases the simulation of low-dimensional materials, specifically oscillator chains and graphene models, with regard to their phonon thermal transport properties. Understanding heat transport properties of materials has been a point of focus throughout most of history and today has repercussions in aerospace, microelectronics, power generation as well as many other topics related to energy efficiency. Current focus on low-dimensional materials stems from the explosion in the availability of these materials as well as from their exotic properties. Indeed, peculiarities related to statistical physics in one or two dimensions allows to circumvent some of the limitations coming from Fourier's law, which is almost always obeyed in three-dimensional materials, and therefore to create materials with previously unobtainable properties. Proposed contributions make use of equilibrium molecular dynamics simulations interpreted through linear response theory and normal mode analysis. Improvements to these algorithms are presented, which allow a better understanding of heat flux correlation functions. Special consideration is given to correlations effects which go beyond the phonon gas model.

The relationship between those effects and the anomalous thermal conductivity phenomenon, which refers to materials whose thermal conductivity increases with the size of the sample, is explored in one-dimensional oscillator chains toy models. Specifically, \MG{variants of the Fermi-Pasta-Ulam model, the FPU-$\beta$ and FPU-$\alpha\beta$ models, are studied. These models are anharmonic oscillator chains in one dimension, each having a slightly different anharmonic interaction term. The results are compared to those pertaining to the $\phi^4$ model, which is also an anharmonic chain but is however a normal conductor}. Our computations show the existence of strong collective excitations in each case, disproving the hypothesis that anomalous thermal conductivity stems from these excitations. The FPU-$\beta$ is probed over a range of the anharmonicity parameter $\beta$ and clearly displays anomalous thermal conductivity in the quasi-recurrence (weak stochasticity) regime as well as in the chaotic (strong stochasticity) regime also refuting the previously held idea that chaotic dynamics is a sufficient condition for normal conductivity.

We then explore thermal transport in graphene. Our simulations, in very good agreement with experiments, show that most of thermal transport happens through the action of flexural modes. This can be explained by strong collective effects that allow these modes to have effective relaxation times which go beyond a few nanoseconds. This effect is however curbed by the interaction between the graphene layers that form a graphite crystal. Furthermore, our computations show that applying strain to graphene makes it cross from the normal conductivity regime to one where the conductivity displays a logarithmic divergence as a function of size.

Finally, we present a new algorithm that allows the use of molecular dynamics to compute relaxons eigenmodes. Relaxons are quasiparticles that embody the collective action of a phonon packet. This algorithm is put to use in the analysis of the FPU-$\beta$ system. A subset of the relaxon eigenvectors obtained in this manner show strong contributions from a small group of long wavelength phonons that act in phase while the other are made of short wavelength phonons which act out of phase. The former have fairly high group velocities while the velocities of the latter are close to zero. Relaxon lifetimes are of the same order of magnitude as phonon relaxation times although there is always at least one relaxon that has a relaxation time longer than that of any phonon.

As a whole, results presented in this thesis highlight the importance and the ubiquity of manybody effects produced by anharmonic interactions between phonon modes in low-dimensional materials. These effects were observed in every model under study and can, in some cases, yield huge contributions to the heat conductivity. Our understanding of the general properties of those collective excitations is not yet complete, which will prompt further investigation. Nevertheless, theoretical tools presented in this thesis, most importantly in chapter 4, provide an appealing basis for these future works.