Some Applications of Markov Additive Processes as Models in Insurance and Financial Mathematics

Abstract

Cette thèse est principalement constituée de trois articles traitant des processus markoviens additifs, des processus de Lévy et d'applications en finance et en assurance.

Le premier chapitre est une introduction aux processus markoviens additifs (PMA), et une présentation du problème de ruine et de notions fondamentales des mathématiques financières. Le deuxième chapitre est essentiellement l'article "Lévy Systems and the Time Value of Ruin for Markov Additive Processes" écrit en collaboration avec Manuel Morales et publié dans la revue European Actuarial Journal. Cet article étudie le problème de ruine pour un processus de risque markovien additif. Une identification de systèmes de Lévy est obtenue et utilisée pour donner une expression de l'espérance de la fonction de pénalité actualisée lorsque le PMA est un processus de Lévy avec changement de régimes. Celle-ci est une généralisation des résultats existant dans la littérature pour les processus de risque de Lévy et les processus de risque markoviens additifs avec sauts "phase-type".

Le troisième chapitre contient l'article "On a Generalization of the Expected Discounted Penalty Function to Include Deficits at and Beyond Ruin" qui est soumis pour publication. Cet article présente une extension de l'espérance de la fonction de pénalité actualisée pour un processus subordinateur de risque perturbé par un mouvement brownien. Cette extension contient une série de fonctions escomptée éspérée des minima successives dus aux sauts du processus de risque après la ruine. Celle-ci a des applications importantes en gestion de risque et est utilisée pour déterminer la valeur espérée du capital d'injection actualisé. Finallement, le quatrième chapitre contient l'article "The Minimal entropy martingale measure (MEMM) for a Markov-modulated exponential Lévy model" écrit en collaboration avec Romuald Hervé Momeya et publié dans la revue Asia-Pacific Financial Market. Cet article présente de nouveaux résultats en lien avec le problème de l'incomplétude dans un marché financier où le processus de prix de l'actif risqué est décrit par un modèle exponentiel markovien additif. Ces résultats consistent à charactériser la mesure martingale satisfaisant le critère de l'entropie. Cette mesure est utilisée pour calculer le prix d'une option, ainsi que des portefeuilles de couverture dans un modèle exponentiel de Lévy avec changement de régimes.

This thesis consists mainly of three papers concerned with Markov additive processes, Lévy processes and applications on finance and insurance.

The first chapter is an introduction to Markov additive processes (MAP) and a presentation of the ruin problem and basic topics of Mathematical Finance. The second chapter contains the paper "Lévy Systems and the Time Value of Ruin for Markov Additive Processes" written with Manuel Morales and that is published in the European Actuarial Journal. This paper studies the ruin problem for a Markov additive risk process. An expression of the expected discounted penalty function is obtained via identification of the Lévy systems. The third chapter contains the paper "On a Generalization of the Expected Discounted Penalty Function to Include Deficits at and Beyond Ruin" that is submitted for publication. This paper presents an extension of the expected discounted penalty function in a setting involving aggregate claims modelled by a subordinator, and Brownian perturbation. This extension involves a sequence of expected discounted functions of successive minima reached by a jump of the risk process after ruin. It has important applications in risk management and in particular, it is used to compute the expected discounted value of capital injection. Finally, the fourth chapter contains the paper "The Minimal Entropy Martingale Measure (MEMM) for a Markov-Modulated Exponential" written with Romuald Hérvé Momeya and that is published in the journal Asia Pacific Financial Market. It presents new results related to the incompleteness problem in a financial market, where the risky asset is driven by Markov additive exponential model. These results characterize the martingale measure satisfying the entropy criterion. This measure is used to compute the price of the option and the portfolio of hedging in an exponential Markov-modulated Lévy model.