Formules de quadrature pour les fonctions entières de type exponentiel

Abstract

Ce mémoire contient quelques résultats sur l'intégration numérique. Ils sont liés à la célèbre formule de quadrature de K. F. Gauss. Une généralisation très intéressante de la formule de Gauss a été obtenue par P. Turán. Elle est contenue dans son article publié en 1948, seulement quelques années après la seconde guerre mondiale. Étant données les circonstances défavorables dans lesquelles il se trouvait à l'époque, l'auteur (Turán) a laissé beaucoup de détails à remplir par le lecteur. Par ailleurs, l'article de Turán a inspiré une multitude de recherches; sa formule a été étendue de di érentes manières et plusieurs articles ont été publiés sur ce sujet. Toutefois, il n'existe aucun livre ni article qui contiennent un compte-rendu détaillé des résultats de base, relatifs à la formule de Turán. Je voudrais donc que mon mémoire comporte su samment de détails qui puissent éclairer le lecteur tout en présentant un exposé de ce qui a été fait sur ce sujet. Voici comment nous avons organisé le contenu de ce mémoire. 1-a. La formule de Gauss originale pour les polynômes - L'énoncé ainsi qu'une preuve. 1-b. Le point de vue de Turán - Compte-rendu détaillé des résultats de son article. 2-a. Une formule pour les polynômes trigonométriques analogue à celle de Gauss. 2-b. Une formule pour les polynômes trigonométriques analogue à celle de Turán. 3-a. Deux formules pour les fonctions entières de type exponentiel, analogues à celle de Gauss pour les polynômes. 3-b. Une formule pour les fonctions entières de type exponentiel, analogue à celle de Turán. 4-a. Annexe A - Notions de base sur les polynômes de Legendre. 4-b. Annexe B - Interpolation polynomiale. 4-c. Annexe C - Notions de base sur les fonctions entières de type exponentiel. 4-d. Annexe D - L'article de P. Turán.

This mémoire contains some results about numerical integration. They are related to the famous quadrature formula of K. F. Gauss. A very interesting generalization of the formula of Gauss was obtained by P.Turán. It is contained in a paper that was published in 1948, only a few years after the second world war. Due to adverse circunstances he was in at the time, the author (Turán) left many details for the reader to fill in. Otherwise, the article of Turán inspired a multitude of research, and his formula has been extended in many ways and several papers have been written on this subject. However, there is no single book or paper where one can nd a clear and comprehensive account of the basic results pertaining to Turán's formula. Thus, I would like my Master's mémoire to contain enough details that can enlighten the reader and present an exposition of much that has been done on this subject. Here is how we have arranged the contents of the mémoire. 1-a. The original formula of Gauss for polynomials - statement along with a proof. 1-b. Turán's point of view - detailed account of the results contained in his paper. 2-a. A formula for trigonometric polynomials analogous to that of Gauss. 2-b. A formula for trigonometric polynomials analogous to that of Turán. 3-a. Two formulae for entire functions of exponential type, analogous to the one of Gauss for polynomials. 3-b. A formula for entire functions of exponential type, analogous to that of Turán. 4-a. Annexe A - Basic facts about Legendre polynomials. 4-b. Annexe B - Polynomial interpolation. 4-c. Annexe C - Basic facts about entire functions of exponential type. 4-d. Annexe D - Paper of P. Turán.