A Generalization of a Theorem of Boyd and Lawton

Abstract

Ce mémoire s’applique à étudier d’abord, dans la première partie, la mesure de Mahler des polynômes à une seule variable. Il commence en donnant des définitions et quelques résultats pertinents pour le calcul de telle hauteur. Il aborde aussi le sujet de la question de Lehmer, la conjecture la plus célèbre dans le domaine, donne quelques exemples et résultats ayant pour but de résoudre la question. Ensuite, il y a l’extension de la mesure de Mahler sur les polynômes à plusieurs variables, une démarche semblable au premier cas de la mesure de Mahler, et le sujet des points limites avec quelques exemples. Dans la seconde partie, on commence par donner des définitions concernant un ordre supérieur de la mesure de Mahler, et des généralisations en passant des polynômes simples aux polynômes à plusieurs variables. La question de Lehmer existe aussi dans le domaine de la mesure de Mahler supérieure, mais avec des réponses totalement différentes. À la fin, on arrive à notre objectif, qui sera la démonstration de la généralisation d’un théorème de Boyd-Lawton, ce dernier met en évidence une relation entre la mesure de Mahler des polynômes à plusieurs variables avec la limite de la mesure de Mahler des polynômes à une seule variable. Ce résultat a des conséquences en termes de la conjecture de Lehmer et sert à clarifier la relation entre les valeurs de la mesure de Mahler des polynômes à une variable et celles des polynômes à plusieurs variables, qui, en effet, sont très différentes en nature.

This thesis applies to study first, in part 1, the Mahler measure of polynomials in one variable. It starts by giving some definitions and results that are important for calculating this height. It also addresses the topic of Lehmer’s question, an interesting conjecture in the field, and it gives some examples and results aimed at resolving the issue. The extension of the Mahler measure to several variable polynomials is then considered including the subject of limit points with some examples. In the second part, we first give definitions of a higher order for the Mahler measure, and generalize from single variable polynomials to multivariable polynomials. Lehmer’s question has a counterpart in the area of the higher Mahler measure, but with totally different answers. At the end, we reach our goal, where we will demonstrate the generalization of a theorem of Boyd-Lawton. This theorem shows a relation between the limit of Mahler measure of multivariable polynomials with Mahler measure of polynomials in one variable. This result has implications in terms of Lehmer's conjecture and serves to clarify the relationship between the Mahler measure of one variable polynomials, and the Mahler measure of multivariable polynomials, which are very different.