Extremes of log-correlated random fields and the Riemann zeta function, and some asymptotic results for various estimators in statistics

Abstract

Dans cette thèse, nous étudions les valeurs extrêmes de certains champs aléatoires log-corrélés qui sont gaussiens (le champ libre gaussien inhomogène et la marche aléatoire branchante inhomogène) ou approximativement gaussiens (le log-module de la fonction zêta de Riemann sur la ligne critique et un modèle-jouet randomisé de celui-ci), ainsi que les propriétés asymptotiques de divers estimateurs en statistique. Outre l'introduction et la conclusion, la thèse est divisée en trois parties, chacune contenant trois articles.

La première partie contient trois articles sur les champs gaussiens log-corrélés. Le premier article montre le premier ordre de convergence du maximum et du nombre de hauts points pour le champ libre gaussien inhomogène sur tout son domaine. Le deuxième article utilise les résultats du premier article pour montrer que la loi limite de la mesure de Gibbs est une cascade de Ruelle avec un certain nombre d'échelles effectives (un arbre de processus de Poisson-Dirichlet). Le troisième article montre la tension du maximum recentré pour la marche aléatoire branchante inhomogène.

La deuxième partie contient trois articles sur la fonction zêta de Riemann. Le premier article montre que, à basse température, la loi limite de la mesure de Gibbs d'un modèle-jouet randomisé du log-module de zêta sur la ligne critique est un processus de Poisson-Dirichlet. Le deuxième article concerne le problème ouvert de la tension du maximum recentré pour ce modèle-jouet sur un intervalle de longueur $O(1)$. Nous simplifions le problème en montrant que le maximum continue se situe à une constante près d'un maximum discret sur $O(\log T \sqrt{\log \log T})$ points. Le troisième article montre le premier ordre de convergence du maximum et de l'énergie libre pour le log-module de la fonction zêta de Riemann sur des intervalles courts de longueur $O(\log^{\theta} T)$, $\theta > -1$, de la ligne critique.

La troisième partie contient trois articles traitant de sujets divers en statistique asymptotique. Le premier article montre la monotonicité complète des probabilités multinomiales et ouvre la porte sur l'étude des propriétés asymptotiques des estimateurs de Bernstein sur le simplexe. Le deuxième article prouve une loi uniforme des grands nombres pour les sommes contenant des termes qui « explosent ». Le troisième article trouve la loi limite d'une statistique de score modifiée lorsqu'on teste un membre donné de la famille des lois exponentielles de puissances contre la famille des lois de puissances asymétriques.

La thèse contient neuf articles dont sept sont déjà publiés dans des journaux évalués par les pairs. Toute l'information se trouve sur mon site web personnel : https://sites.google.com/site/fouimet26/research.

In this thesis, we study the extreme values of certain log-correlated random fields that are Gaussian (the scale-inhomogeneous Gaussian free field and the time-inhomogeneous branching random walk) or approximatively Gaussian (the log-modulus of the Riemann zeta function on the critical line and a randomized toy model of it), as well as asymptotic properties of various estimators in statistics. Apart from the introduction and conclusion, the thesis is divided in three parts, each containing three articles.

The first part contains three articles on log-correlated Gaussian fields. The first article shows the first order convergence of the maximum and the number of high points for the scale-inhomogeneous Gaussian free field on its full domain. The second article uses the results from the first article to show that the limiting law of the Gibbs measure is a Ruelle probability cascade with a certain number of effective scales (a tree of Poisson-Dirichlet processes). The third article shows the tightness of the recentered maximum for the time-inhomogeneous branching random walk.

The second part contains three articles on the Riemann zeta function. The first article shows that, at low temperature, the limiting law of the Gibbs measure for a randomized toy model of the log-modulus of zeta on the critical line is a Poisson-Dirichlet process. The second article deals with the open problem of the tightness of the recentered maximum for this toy model on an interval of length $O(1)$. We simplify the problem by showing that the continuous maximum is at the order of constant away from a discrete maximum over $O(\log T \sqrt{\log \log T})$ points. The third article shows the first order of convergence of the maximum and the free energy for the log-modulus of the Riemann zeta function on short intervals of length $O(\log^{\theta} T)$, $\theta > -1$, on the critical line.

The third part contains three articles treating various topics in asymptotic statistics. The first article shows the complete monotonicity of multinomial probabilities and opens the door to the study of the asymptotic properties of Bernstein estimators on the simplex. The second article shows a uniform law of large numbers for sums containing terms that ``blow up''. The third article finds the limiting law of a modified score statistic when we test a given member of the exponential power distribution family against the family of asymmetric power distributions.

The thesis contains nine articles of which seven are already published in peer-reviewed journals. All the information is gathered on my personal website : https://sites.google.com/site/fouimet26/research.