Estimation de paramètres en exploitant les aspects calculatoires et numériques

Abstract

Dans cette thèse, nous nous intéressons principalement à l’estimation de paramètres. Elle est constituée de trois articles dans lesquels nous abordons des problèmes d’estimation dans des modèles précis.

Dans le premier article, nous considérons la famille paramétrique de copules de Farlie-Gumbel-Morgenstern. Les observations proviennent d’une loi qui fait intervenir à la fois la copule et les marges, au travers de la décomposition du théorème de Sklar. Les marges sont inconnues. Dans le cadre de l’estimation d’une fonction du paramètre de la copule, la pseudo-vraisemblance est souvent utilisée en lieu et place de la vraisemblance. C’est une approche qui va généralement produire des estimateurs non efficaces (variance non-minimale), spécialement pour de petites tailles d’échantillons. Dans la pseudo-vraisemblance, les marges sont remplacées par des estimateurs qui dépendent des rangs. Nous proposons d’utiliser la vraisemblance des rangs, qui est la vraisemblance basée sur la distribution de la statistique des rangs. Cette approche peut être complexe en pratique car on doit travailler sur le groupe des permutations et on doit calculer des intégrales multiples. Néanmoins, il est possible d’effectuer les calculs pour la famille de copules de Farlie-Gumbel-Morgenstern. Nous comparons les estimateurs obtenus de ces approches à l’aide de la méthode bayésienne. Les résultats des études numériques sont présentés.

Certains estimateurs rencontrés dans la littérature sont des rapports de variables aléatoires de lois normales. Dans le second article, nous nous intéressons à la distribution du rapport de deux variables aléatoires de lois normales. Plusieurs auteurs ont abordé ce sujet. La nouvelle paramétrisation que nous introduisons nous permet d’arriver assez facilement à de nouveaux résultats. Tout d’abord, nous montrons que l’expression de la densité du rapport s’écrit comme un mélange de densités appartenant à une nouvelle famille que nous créons. Nous proposons quelques propriétés et nous donnons l’expression analytique de la fonction caractéristique pour la nouvelle famille. Cette nouvelle famille est en fait une généralisation de la famille des densités des lois de Student de degrés de liberté impairs. Nous arrivons à des résultats de convergence similaires à la convergence observée des lois de Student lorsque le degré de liberté tend vers l’infini. Des résultats semblables de convergence ainsi que quelques propriétés sont développées pour la loi du rapport. Nous utilisons une approche bayésienne pour estimer le rapport de deux moyennes de variables aléatoires de lois normales. Des illustrations graphiques et des résultats des simulations sont présentés.

Dans le troisième sujet, nous étendons la famille de distributions issue de la différence de deux variables aléatoires indépendantes de loi gamma, en considérant le cas où ces variables aléatoires sont positivement corrélées. Les densités de cette famille sont trouvées. La forme complexe de ces densités rend fastidieuses les méthodes d’estimation basées sur la vraisemblance. La méthode d’estimation basée sur la fonction caractéristique est utilisée, et l’approche continue est comparée à l’approche discrète. Par ailleurs, nous aboutissons à deux algorithmes simples permettant de générer facilement des données de deux variables aléatoires positivement corrélées et identiquement distribuées de loi gamma. Le meilleur estimateur équivariant pour le paramètre d’échelle est obtenu dans le cas de l’indépendance.

In this thesis, we are mainly interested in the estimation of parameters. It consists of three papers in which we discuss estimation problems in specific models.

In the first paper, we consider the Farlie-Gumbel-Morgenstern parametric family of copulas. The observations come from a distribution that involves both the copula and the margins, through the decomposition of the Sklar's theorem. Margins are unknown. In the estimation of a function of the parameter of the copula, pseudo-likelihood is often used instead of the likelihood. It is an approach that will generally produce non-efficient estimators, especially for small sample sizes. In pseudo-likelihood, margins are replaced by estimators that depend on the ranks. We propose to use the rank-likelihood, which is the likelihood based on the distribution of the rank statistics. This approach can be complex in practice because we work on the permutation group and we calculate multiple integrals. However, it is possible to do the calculations for the Farlie-Gumbel-Morgenstern family of copulas. We compare the estimators obtained from these approaches using the Bayesian method. The results of numerical studies are presented.

Some estimators found in the literature are ratios of normal random variables. In the second paper, we are interested in the distribution of the ratio of two normal random variables. Several authors have addressed this subject. The new parametrization that we introduced allows us to obtain new results faster and effortlessly. Firstly, we show that the expression of the density of the ratio can be written as a mixture of densities belonging to a new family that we create. We find some properties, and we give the analytic expression of the characteristic function for the new family. This new family is in fact a generalization of the family of densities of Student distributions having odd degrees of freedom. We obtain convergence results generalizing the one for Student distributions when the degree of freedom tends to infinity. Similar results of convergence as well as some properties are developed for the distribution of the ratio. We use a Bayesian approach to estimate the ratio of the means of two normal random variables. Graphical illustrations and simulation results are presented.

In the third paper, we extend the family of distributions, resulting from the difference of two independent random variables having a gamma distribution, by considering the case where these random variables are positively correlated. The densities in this family are found. Their complex forms make tedious the estimation methods based on the likelihood. The estimation method based on the characteristic function is used, and the continuous approach is compared to the discrete approach. Moreover, we developed two simple algorithms for generating data from two positively correlated and identically distributed random variables having a gamma distribution. The best equivariant estimator for the scale parameter is obtained in the case of independence.