q-oscillateurs et q-polynômes de Meixner

Abstract

Une interprétation algébrique des q-polynômes de Meixner est présentée dans ce mémoire. Cette interprétation est obtenue en considérant des représentations de U_q(su(1,1)) sur des états de q-oscillateurs et en observant que les q-polynômes de Meixner apparaissent comme éléments de matrice d'opérateurs de q-pseudorotation unitaires. Ces opérateurs sont construits à partir de q-exponentielles des générateurs de U_q(su(1,1)). Diverses propriétés des polynômes, telles que l'orthogonalité, la relation de récurrence et l'équation aux différences, sont obtenues de façon systématique dans le cadre de la construction. Deux chapitres d'introduction précèdent l'article et discutent des liens entre les polynômes orthogonaux, les structures algébriques (encodant des symétries d'un problème) et les systèmes physiques associés.

An algebraic interpretation of the q-Meixner polynomials is obtained in this master's thesis. It is based on representations of U_q(su(1,1)) on q-oscillator states with the polynomials appearing as matrix elements of unitary q-pseudorotation operators. These operators are built from q-exponentials of the U_q(su(1,1)) generators. The orthogonality, recurrence relation, difference equation, and other properties of the q-Meixner polynomials are systematically obtained in this framework. Two introductory chapters on orthogonal polynomials, algebraic structures (encoding symmetry properties) and their connections to the associated physical systems precede the article.