Le concept de série dans les manuels au niveau collégial : registres de représentation et activités cognitives

Abstract

Au niveau postsecondaire, les concepts mathématiques avancés seraient des concepts difficiles à appréhender pour beaucoup d’étudiants. Le concept de série fait partie de ces concepts avancés que les étudiants rencontrent pour la première fois de façon formelle dans leurs études postsecondaires (au niveau collégial, Cégep, dans le contexte québécois). Ce concept a un très grand nombre d’applications et ce, aussi bien en mathématiques que dans le domaine scientifique. Cependant, sa complexité propre et sa nature contre-intuitive font qu’il est très difficile à appréhender par certains étudiants. Parmi les difficultés d’appréhension, dans un grand nombre de cas, on peut trouver la conception que la somme d’une infinitude de termes donnera une quantité qui ne peut être qu’infiniment grande. Étant donné l’importance et la complexité de ce concept, on pourrait s’attendre à ce qu’il soit pris en compte avec une grande attention par la recherche. Cependant, notre recension d’écrits montre qu’il y a très peu d’études centrées sur le concept de somme infinie. Dans ce mémoire, nous allons présenter des résultats d’une analyse effectuée sur dix-sept manuels utilisés dans les Cégeps du Québec. Les résultats de cette analyse nous ont permis de prendre conscience que les manuels utilisés par l’enseignement actuel font rarement usage du registre graphique et que le registre algébrique est souvent privilégié. Ainsi, la plupart des manuels utilisés dans les Cégeps utilisent rarement les représentations visuelles qui pourraient être un outil important pouvant contribuer dans une appréhension complète du concept de série et les graphiques sont pratiquement absents dans tous les exercices et problèmes que ces manuels proposent. Par ailleurs, les résultats de notre recherche montre que les applications mathématiques et extramathématiques sont rares, et ce, bien que les sommes infinies soient un concept essentiel dans l’introduction d’autres concepts mathématiques et qu’elles permettent de modéliser plusieurs phénomènes. De plus, parmi le peu d’applications extramathématiques qui apparaissent dans les dix-sept manuels, beaucoup sont peu utiles à l’appréhension du concept en question étant donné que celles-ci sont artificielles (applications difficiles à réaliser dans la vie quotidienne). Enfin, nos résultats de recherche nous révèlent que le contenu des manuels en lien avec le concept de série mériterait d’être réajusté afin de permettre aux étudiants une meilleure appréhension de ce concept.

At the post high school level, advanced mathematical concepts are difficult to grasp for many students. The series concept is one such advanced concept that students meet for the first time formally in their postsecondary studies (Cégep in the Québec context). This concept has a very large number of applications both in mathematics and in science. However, its own complexity and nature against-intuitive make it very difficult to understand by some students. Among the difficulties to apprehend it, in many cases, we can find the idea that the sum of an infinite number of terms will give a quantity which will necessarily be infinitely large. Given the importance and complexity of this concept, one might expect it to be considered with great attention by the research. However, our literature review shows that there are very few studies focusing on the concept of infinite sum. In this Masters thesis, we will present the results of an analysis carried out on seventeen textbooks used in Cégeps in Quebec. The results of this analysis have allowed us to realize that the textbooks used by the current education rarely make use of the graphic register and that the algebraic register is often favored. Thus, most of the textbooks used in Cégeps rarely use visual representations that could be an important tool that can contribute to a comprehensive understanding of the concept of series and graphics are virtually absent in all the exercises and problems that these books offer. Furthermore, the results of our research show that mathematical and extramathematical applications are scarce, although infinite sums are a key concept in the introduction of other mathematical concepts and they allow modeling several phenomena. Moreover, among the few extramathematical applications that appear in the seventeen textbooks, many are of little use to the understanding of the concept in question since they are artificial (difficult applications to perform in daily life). Finally, our research results reveal that the content of textbooks in connection with the concept of series deserves to be readjusted to allow students a better understanding of this concept.