Les modèles vectoriels et multiplicatifs avec erreurs non-négatives de séries chronologiques

Abstract

L'objectif du présent mémoire vise à présenter des modèles de séries chronologiques multivariés impliquant des vecteurs aléatoires dont chaque composante est non-négative. Nous considérons les modèles vMEM (modèles vectoriels et multiplicatifs avec erreurs non-négatives) présentés par Cipollini, Engle et Gallo (2006) et Cipollini et Gallo (2010). Ces modèles représentent une généralisation au cas multivarié des modèles MEM introduits par Engle (2002). Ces modèles trouvent notamment des applications avec les séries chronologiques financières. Les modèles vMEM permettent de modéliser des séries chronologiques impliquant des volumes d'actif, des durées, des variances conditionnelles, pour ne citer que ces applications. Il est également possible de faire une modélisation conjointe et d'étudier les dynamiques présentes entre les séries chronologiques formant le système étudié.

Afin de modéliser des séries chronologiques multivariées à composantes non-négatives, plusieurs spécifications du terme d'erreur vectoriel ont été proposées dans la littérature. Une première approche consiste à considérer l'utilisation de vecteurs aléatoires dont la distribution du terme d'erreur est telle que chaque composante est non-négative. Cependant, trouver une distribution multivariée suffisamment souple définie sur le support positif est plutôt difficile, au moins avec les applications citées précédemment. Comme indiqué par Cipollini, Engle et Gallo (2006), un candidat possible est une distribution gamma multivariée, qui impose cependant des restrictions sévères sur les corrélations contemporaines entre les variables. Compte tenu que les possibilités sont limitées, une approche possible est d'utiliser la théorie des copules. Ainsi, selon cette approche, des distributions marginales (ou marges) peuvent être spécifiées, dont les distributions en cause ont des supports non-négatifs, et une fonction de copule permet de tenir compte de la dépendance entre les composantes. Une technique d'estimation possible est la méthode du maximum de vraisemblance. Une approche alternative est la méthode des moments généralisés (GMM). Cette dernière méthode présente l'avantage d'être semi-paramétrique dans le sens que contrairement à l'approche imposant une loi multivariée, il n'est pas nécessaire de spécifier une distribution multivariée pour le terme d'erreur.

De manière générale, l'estimation des modèles vMEM est compliquée. Les algorithmes existants doivent tenir compte du grand nombre de paramètres et de la nature élaborée de la fonction de vraisemblance. Dans le cas de l'estimation par la méthode GMM, le système à résoudre nécessite également l'utilisation de solveurs pour systèmes non-linéaires. Dans ce mémoire, beaucoup d'énergies ont été consacrées à l'élaboration de code informatique (dans le langage R) pour estimer les différents paramètres du modèle.

Dans le premier chapitre, nous définissons les processus stationnaires, les processus autorégressifs, les processus autorégressifs conditionnellement hétéroscédastiques (ARCH) et les processus ARCH généralisés (GARCH). Nous présentons aussi les modèles de durées ACD et les modèles MEM. Dans le deuxième chapitre, nous présentons la théorie des copules nécessaire pour notre travail, dans le cadre des modèles vectoriels et multiplicatifs avec erreurs non-négatives vMEM. Nous discutons également des méthodes possibles d'estimation. Dans le troisième chapitre, nous discutons les résultats des simulations pour plusieurs méthodes d'estimation. Dans le dernier chapitre, des applications sur des séries financières sont présentées. Le code R est fourni dans une annexe. Une conclusion complète ce mémoire.

The objective of this master thesis is to present models for multivariate time series involving random vectors where each component is non-negative. We consider vMEM models (vector multiplicative error models) presented by Cipollini, Engle and Gallo (2006) and Cipollini and Gallo (2010). These models represent a generalization to the multivariate case of MEM models introduced by Engle (2002). These models are applied especially with financial time series. The vMEM models can be used to model time series involving asset volumes, durations, conditional variances, among these applications. It is also possible to model the variables jointly and to study the dynamics between these time series forming the system under study.

To model multivariate time series with non-negative components, several specifications for the term vector error have been proposed in the literature. One approach is to consider the use of random vectors where the distribution of the error term is such that each component is non-negative. However, finding a sufficiently flexible multivariate distribution defined on the positive support is rather difficult, at least with the applications mentioned above. As indicated by Cipollini, Engle and Gallo (2006), a possible candidate is the multivariate gamma distribution, which however imposes severe restrictions on the contemporaneous correlations between variables. Since the possibilities are limited, one possible approach is to use the theory of copulas. Thus, according to this approach, margins can be specified, such that the distributions in question have non-negative supports, and a copula function takes into account the dependency between components. A possible estimation technique is the method of maximum likelihood. An alternative approach is the generalized method of moments (GMM). This latter method has the advantage of being semi-parametric in the sense that unlike the approach imposing a multivariate distribution, it is not necessary to specify a multivariate distribution for the error term.

Generally, estimating vMEM models is complicated. Existing algorithms must take into account the large number of parameters and the elaborate nature of the likelihood function. In the case of the GMM estimation method, solving the system requires the use of solvers for non linear systems. In this project, considerable energy has been devoted to the development of computer code (in the R language) to estimate the different parameters of the model.

In the first chapter, we define the stationary processes, autoregressive processes, the autoregressive conditional heteroskedasticity processes (ARCH) and the generalized ARCH processes (GARCH). We also present duration models ACD and MEM models. In the second chapter, we present the theory of copulas needed for our work, under the vector multiplicative error models vMEM. We also discuss the possible estimation methods. In the third chapter, we discuss the simulation results for several estimation methods. In the last chapter, applications to financial time series are presented. The R code is provided in an Appendix. A conclusion completes this thesis.