Temps de Branchement du Mouvement Brownien Branchant Inhomogène

Abstract

Ce mémoire étudie le comportement des particules dont la position est maximale au temps t dans la marche aléatoire branchante et le mouvement brownien branchant sur R, pour des valeurs de t grandes. Plus exactement, on regarde le comportement du maximum d’une marche aléatoire branchante dans un environnement inhomogène en temps, au sens où la loi des accroissements varie en fonction du temps. On compare avec des modèles connus ou simplifiés, en particulier le modèle i.i.d., où l’on observe des marches aléatoires indépendantes et le modèle de la marche aléatoire homogène. On s’intéresse par la suite aux corrélations entre les particules maximales d’un mouvement brownien branchant. Plus précisément, on étudie le temps de branchement entre deux particules maximales. Finalement, on applique les méthodes et les résultats des premiers chapitres afin d’étudier les corrélations dans un mouvement brownien branchant dans un environnement inhomogène. Le résultat principal du mémoire stipule qu’il y a existence de temps de branchement au centre de l’intervalle [0, t] dans le mouvement brownien branchant inhomogène, ce qui n’est pas le cas pour le mouvement brownien branchant standard. On présentera également certaines simulations numériques afin de corroborer les résultats numériques et pour établir des hypothèses pour une recherche future.

This thesis studies the behavior of particles that are maximal at time t in branching random walk and branching Brownian motion on R, for large values of t. Precisely, we look at the behavior of the maximum in a branching random walk in a time-inhomogeneous environment, where the law of the increments varies with respect to time. We compare with known or simplified models such as the model where random walks are taken to be i.i.d. and the branching random walk in a time-homogeneous environment model. We then take a look at the correlations between maximal particles in a branching brownian motion. Specifically, we look at the branching time between those maximal particles. Finally, we apply results and methods from the first chapters to study those same correlations in branching Brownian motion in a inhomogeneous environment. The thesis’ main result establishes existence of branching time at the center of the interval [0, t] for the branching Brownian motion in a inhomogeneous environment, which is not the case for standard branching brownian motion.We also present results of simulations that agree with theoretical results and help establishing new hypotheses for future research.