Distribution asymptotique du nombre de diviseurs premiers distincts inférieurs ou égaux à m

Abstract

Le sujet principal de ce mémoire est l'étude de la distribution asymptotique de la fonction f_m qui compte le nombre de diviseurs premiers distincts parmi les nombres premiers $p_1,...,p_m$.

Au premier chapitre, nous présentons les sept résultats qui seront démontrés au chapitre 4. Parmi ceux-ci figurent l'analogue du théorème d'Erdos-Kac et un résultat sur les grandes déviations.

Au second chapitre, nous définissons les espaces de probabilités qui serviront à calculer les probabilités asymptotiques des événements considérés, et éventuellement à calculer les densités qui leur correspondent.

Le troisième chapitre est la partie centrale du mémoire. On y définit la promenade aléatoire qui, une fois normalisée, convergera vers le mouvement brownien. De là, découleront les résultats qui formeront la base des démonstrations de ceux chapitre 1.

The main topic of this masters thesis is the study of the asymptotic distribution of the fonction f_m which counts the number of distinct prime divisors among the first $m$ prime numbers, i.e. $p_1,...,p_m$.

The first chapter provides the seven main results which will later on be proved in chapter 4. Among these we find the analogue of the Erdos-Kac central limit theorem and a result on large deviations.

In the following chapter, we define several probability spaces on which we will calculate asymptotic probabilities of specific events. These will become necessary for calculating their corresponding densities.

The third chapter is the main part of this masters thesis. In it, we introduce a random walk which, when suitably normalized, will converge to the Brownian motion. We will then obtain results which will form the basis of the proofs of those of chapiter 1.