Tests d'ajustement reposant sur les méthodes d'ondelettes dans les modèles ARMA avec un terme d'erreur qui est une différence de martingales conditionnellement hétéroscédastique

Abstract

L'étude porte sur le développement d'une procédure à base d'ondelettes afin de tester la qualité d'ajustement d'un modèle autorégressif moyenne mobile (ARMA), où l'innovation est une différence de martingales avec hétéroscédasticité conditionnelle. Dans le cadre du modèle ARMA semi-fort, les innovations ne sont pas indépendantes, mais sont présumées des différences de martingales, voir par exemple Francq et al. (2005). Conséquemment, les distributions asymptotiques de type chi-carré pour les statistiques de test de Box-Pierce-Ljung, établies sous l'hypothèse d'indépendance du terme d'erreur, ne sont pas forcément adéquates. De plus, les irrégularités saisonnières dans la densité spectrale de l'innovation pourraient affecter la puissance des tests classiques. Ceci motive l'étude des méthodes d'ondelettes dans le présent contexte, où le terme d'erreur est présumé plus général que composé de variables aléatoires indépendantes.

Afin de trouver la distribution asymptotique de nouveaux tests reposant sur les ondelettes, nous commençons par établir la distribution asymptotique des autocovariances résiduelles basées sur les résidus du modèle ajusté. La densité spectrale exprimée en base d'ondelettes repose sur des coefficients, dits coefficients d'ondelettes. Nous trouvons les distributions asymptotiques des versions empiriques de ces coefficients d'ondelettes lorsque le modèle ARMA est correctement spécifié. Nous montrons que les variances et covariances asymptotiques des coefficients d'ondelettes empiriques dépendent des coefficients du modèle ARMA ainsi que de la structure de covariance du moment d'ordre deux des innovations.

Ces résultats sont utilisés pour construire de nouveaux tests. Nous démontrons que ces statistiques de tests suivent des distributions de type chi-carré asymptotiquement. La performance des statistiques de test proposées pour plusieurs tailles d'échantillon sont étudiées par des simulations de Monte Carlo. Les résultats de nos simulations suggèrent que les nouveaux tests convergent raisonnablement rapidement vers des distributions de type chi-carré, et qu'ils offrent des propriétés de puissance avantageuses comparativement aux statistiques de test classiques, au moins pour certains modèles. Un exemple avec des données réelles illustre la méthodologie.

Wavelet-based test procedures for lack-of-fit in autoregressive moving average (ARMA) models with conditionally heteroskedastic martingale difference innovations are investigated. In the framework of so-called semistrong ARMA models, the innovations are not independent, but are presumed a martingale difference, see for example Francq et al. (2005). Consequently, the Chi-square distributions of the popular Box-Pierce-Ljung test statistics, established under the hypothesis of independence in the error term, are not necessarily adequate. Moreover, the seasonal irregularities in the spectral density of the innovation can affect the power of the classical tests. This provides motivations for studying wavelet methods in the current context, where the error term is presumed more general than independent random variables.

To find the asymptotic distribution of the new wavelet-based tests, we begin by establishing the asymptotic distribution of the residual autocovariances based on the residuals of the fitted model. The wavelet-based spectral density relies on certain coefficients, the so-called wavelet coefficients. We derive the asymptotic distribution of the empirical versions of those wavelet coefficients when the ARMA model is correctly specified. We show that the asymptotic variances and covariances of the empirical wavelet coefficients depend on both the coefficients of the ARMA model, and the covariance structure of the second moment of the innovations.

Those results are used to construct new tests. We demonstrate that those test statistics have Chi-square distributions asymptotically. The performances of the proposed test statistics are investigated via Monte Carlo simulation studies for several sample sizes. The results of our simulations suggest that the new tests converge reasonably quickly to the Chi-square distributions and offer favorable power properties over the classical statistical tests, at least in some models. An example with real data illustrates the methodology.