Fonctions entières complexes ayant des propriétés prescrites sur la droite réelle

Abstract

Ce mémoire traite successivement de prolongements-interpolations et d’approximations de certaines classes de fonctions définies sur des ensembles particuliers. Nous avons ainsi construit des prolongements de classe C m(m fini ou non) pour des fonctions définies sur certains sous-ensembles de R n (demi-espace, quart-espace, slab, ...) Aussi avons-nous prolongé une fonction analytique qui envoie un intervalle ouvert I ⊂ R sur un intervalle ouvert J ⊂ R en une fonction holomorphe envoyant un voisinage ouvert U de I sur un voisinage ouvert V de J. Relativement au volet approximation nous avons considéré avec intérêt le théorème de Burke. Il constitue une généralisation du Lemme de Walsh. Ce dernier est luimême une généralisation du théorème d’approximation de Weierstrass. Nous avons cherché, non sans difficultés, à en mettre au point une preuve plus simple que celle qui a été présentée par l’auteur. Nous avons eu recours au théorème d’approximation de Whitney après l’avoir généralisé du cas des fonctions lisses au cas des fonctions de classe C m où m est fini. Il nous a permis de prouver certaines approximations qui nous permis à la fin de terminer la preuve du théorème de Burke.

This thesis is successively devoted to interpolation-extrapolation and approximation in certain classes of functions defined on particular sets. Thus, we construct extensions of class C m (m finite or not) for functions defined on certain subsets (half-space, quarter-space, slabs, ...) of R n . Also, given a real-analytic function mapping an open interval I onto an interval J, we extend this function to a holomorphic function mapping a neighbourhood U of I in C into a given neighbourhood V of J. With regards to approximation, the Weierstrass approximation theorem was generalized by Walsh. A further generalization was given recently by Burke. We have attempted (with difficulty) to fashion a simpler proof than that given by Burke. As a tool we have invoked the Whitney approximation theorem for C ∞-functions, afte giving a version for C m-functions, where m is finite. Finally, this allowed us to complete the proof of Burke’s theorem.