Anatomy of smooth integers

Abstract

Dans le premier chapitre de cette thèse, nous passons en revue les outils de la théorie analytique des nombres qui seront utiles pour la suite. Nous faisons aussi un survol des entiers y−friables, c’est-à-dire des entiers dont chaque facteur premier est plus petit ou égal à y. Au deuxième chapitre, nous présenterons des problèmes classiques de la théorie des nombres probabiliste et donnerons un bref historique d’une classe de fonctions arithmétiques sur un espace probabilisé. Le problème de Erdos sur la table de multiplication demande quel est le nombre d’entiers distincts apparaissant dans la table de multiplication N × N. L’ordre de grandeur de cette quantité a été déterminé par Kevin Ford (2008). Dans le chapitre 3 de cette thèse, nous étudions le nombre d’ensembles y−friables de la table de multiplication N × N. Plus concrètement, nous nous concentrons sur le changement du comportement de la fonction A(x, y) par rapport au domaine de y, où A(x, y) est une fonction qui compte le nombre d’entiers y− friables distincts et inférieurs à x qui peuvent être représentés comme le produit de deux entiers y− friables inférieurs à p x. Dans le quatrième chapitre, nous prouvons un théorème de Erdos-Kac modifié pour l’ensemble des entiers y− friables. Si !(n) est le nombre de facteurs premiers distincts de n, nous prouvons que la distribution de !(n) est gaussienne pour un certain domaine de y en utilisant la méthode des moments.

The object of the first chapter of this thesis is to review the materials and tools in analytic number theory which are used in following chapters. We also give a survey on the development concerning the number of y−smooth integers, which are integers free of prime factors greater than y. In the second chapter, we shall give a brief history about a class of arithmetical functions on a probability space and we discuss on some well-known problems in probabilistic number theory. We present two results in analytic and probabilistic number theory. The Erdos multiplication table problem asks what is the number of distinct integers appearing in the N × N multiplication table. The order of magnitude of this quantity was determined by Kevin Ford (2008). In chapter 3 of this thesis, we study the number of y−smooth entries of the N × N multiplication. More concretely, we focus on the change of behaviour of the function A(x,y) in different ranges of y, where A(x,y) is a function that counts the number of distinct y−smooth integers less than x which can be represented as the product of two y−smooth integers less than p x. In Chapter 4, we prove an Erdos-Kac type of theorem for the set of y−smooth integers. If !(n) is the number of distinct prime factors of n, we prove that the distribution of !(n) is Gaussian for a certain range of y using method of moments.