Lagrangian-informed mixed integer programming reformulations

Abstract

La programmation linéaire en nombres entiers est une approche robuste qui permet de résoudre rapidement de grandes instances de problèmes d'optimisation discrète. Toutefois, les problèmes gagnent constamment en complexité et imposent parfois de fortes limites sur le temps de calcul. Il devient alors nécessaire de développer des méthodes spécialisées afin de résoudre approximativement ces problèmes, tout en calculant des bornes sur leurs valeurs optimales afin de prouver la qualité des solutions obtenues.

Nous proposons d'explorer une approche de reformulation en nombres entiers guidée par la relaxation lagrangienne. Après l'identification d'une forte relaxation lagrangienne, un processus systématique permet d'obtenir une seconde formulation en nombres entiers. Cette reformulation, plus compacte que celle de Dantzig et Wolfe, comporte exactement les mêmes solutions entières que la formulation initiale, mais en améliore la borne linéaire: elle devient égale à la borne lagrangienne.

L'approche de reformulation permet d'unifier et de généraliser des formulations et des méthodes de borne connues. De plus, elle offre une manière simple d'obtenir des reformulations de moins grandes tailles en contrepartie de bornes plus faibles.

Ces reformulations demeurent de grandes tailles. C'est pourquoi nous décrivons aussi des méthodes spécialisées pour en résoudre les relaxations linéaires.

Finalement, nous appliquons l'approche de reformulation à deux problèmes de localisation. Cela nous mène à de nouvelles formulations pour ces problèmes; certaines sont de très grandes tailles, mais nos méthodes de résolution spécialisées les rendent pratiques.

Integer linear programming is a robust and efficient approach to solve large-scale instances of combinatorial problems. However, problems constantly gain in complexity and sometimes impose strong constraints on computation times. We must then develop specialised methods to compute heuristic primal solutions to the problem and derive lower bounds on the optimal value, and thus prove the quality of our primal solutions.

We propose to guide a reformulation approach for mixed integer programs with Lagrangian relaxations. After the identification of a strong relaxation, a mechanical process leads to a second integer formulation. This reformulation is equivalent to the initial one, but its linear relaxation is equivalent to the strong Lagrangian dual.

We will show that the reformulation approach unifies and generalises prior formulations and lower bounding approaches, and that it exposes a simple mechanism to reduce the size of reformulations in return for weaker bounds.

Nevertheless, our reformulations are large. We address this issue by solving their linear relaxations with specialised methods.

Finally, we apply the reformulation approach to two location problems. This yields novel formulations for both problems; some are very large but, thanks to the aforementioned specialised methods, still practical.