(* In this notebook, the coordinates of the vertices of the polytopes are provided in the ω—basis. The vertices of the polytopes are obtained acting with the finite reflection groups A3, B3, C3 and H3 on the dominant points:

(*
λ=(1,0,0)-> Orbit100;
λ=(0,1,0)-> Orbit010; 
λ=(1,0,0)-> Orbit100; 
λ=(1,1,0)-> Orbit110; 
λ=(1,0,1)-> Orbit101; 
λ=(0,1,1)-> Orbit011; 
λ=(1,1,1)-> Orbit111;
*)

*)

(* A3 group *)

Orbit100A3={{1,0,0},{-1,1,0},{0,-1,1},{0,0,-1}};

Orbit010A3={{0,1,0},{1,-1,1},{-1,0,1},{1,0,-1},{-1,1,-1},{0,-1,0}};

Orbit001A3={{0,0,1},{0,1,-1},{1,-1,0},{-1,0,0}};

Orbit110A3={{1,1,0},{-1,2,0},{2,-1,1},{1,-2,2},{-2,1,1},{2,0,-1},{-1,-1,2},{1,0,-2},{-2,2,-1},{-1,1,-2},{0,-2,1},{0,-1,-1}};

Orbit101A3 = {{1,0,1},{-1,1,1},{1,1,-1},{0,-1,2},{-1,2,-1},{2,-1,0},{0,1,-2},{1,-2,1},{-2,1,0},{1,-1,-1},{-1,-1,1},{-1,0,-1}};

Orbit011A3 = {{0,1,1},{1,-1,2},{0,2,-1},{-1,0,2},{1,1,-2},{2,-2,1},{-1,2,-2},{2,-1,-1},{-2,0,1},{1,-2,0},{-2,1,-1},{-1,-1,0}};

Orbit111A3 = {{1,1,1},{-1,2,1},{2,-1,2},{1,2,-1},{1,-2,3},{-1,3,-1},{-2,1,2},{2,1,-2},{3,-2,1},{-1,-1,3},{1,1,-3},{2,-3,2},{-2,3,-2},{3,-1,-1},{-3,1,1},{-1,2,-3},{2,-1,-2},{-2,-1,2},{1,-3,1},{-3,2,-1},{1,-2,-1},{-2,1,-2},{-1,-2,1},{-1,-1,-1}};

(* B3 group *)

Orbit100B3 = {{1,0,0},{-1,1,0},{0,-1,2},{0,1,-2},{1,-1,0},{-1,0,0}};

Orbit010B3 = {{0,1,0},{1,-1,2},{-1,0,2},{1,1,-2},{-1,2,-2},{2,-1,0},{1,-2,2},{-2,1,0},{-1,-1,2},{1,0,-2},{-1,1,-2},{0,-1,0}};

Orbit001B3 = {{0,0,1},{0,1,-1},{1,-1,1},{-1,0,1},{1,0,-1},{-1,1,-1},{0,-1,1},{0,0,-1}};

Orbit110B3 = {{1,1,0},{-1,2,0},{2,-1,2},{1,-2,4},{-2,1,2},{2,1,-2},{-1,-1,4},{1,2,-4},{-2,3,-2},{3,-1,0},{-1,3,-4},{3,-2,0},{1,-3,4},{-3,2,0},{2,-3,2},{-3,1,0},{-1,-2,4},{1,1,-4},{-2,-1,2},{2,-1,-2},{-1,2,-4},{-2,1,-2},{1,-2,0},{-1,-1,0}};

Orbit101B3 = {{1,0,1},{-1,1,1},{1,1,-1},{0,-1,3},{-1,2,-1},{2,-1,1},{0,2,-3},{1,-2,3},{-2,1,1},{2,0,-1},{2,-2,1},{-1,-1,3},{1,1,-3},{-2,2,-1},{-2,0,1},{2,-1,-1},{-1,2,-3},{0,-2,3},{-2,1,-1},{1,-2,1},{0,1,-3},{-1,-1,1},{1,-1,-1},{-1,0,-1}};

Orbit011B3 = {{0,1,1},{1,-1,3},{0,2,-1},{-1,0,3},{1,2,-3},{2,-2,3},{-1,3,-3},{3,-2,1},{-2,0,3},{2,1,-3},{2,-3,3},{-3,1,1},{3,-1,-1},{-2,3,-3},{-2,-1,3},{2,0,-3},{-3,2,-1},{1,-3,3},{-2,2,-3},{-1,-2,3},{1,0,-3},{0,-2,1},{-1,1,-3},{0,-1,-1}};

Orbit111B3 = {{1,1,1},{-1,2,1},{2,-1,3},{1,2,-1},{1,-2,5},{-1,3,-1},{-2,1,3},{2,2,-3},{3,-2,3},{-1,-1,5},{1,3,-5},{2,-3,5},{-2,4,-3},{4,-2,1},{-3,1,3},{3,1,-3},{-1,4,-5},{4,-3,1},{-2,-1,5},{2,2,-5},{2,-4,5},{-4,2,1},{4,-1,-1},{-3,4,-3},{3,-4,3},{-4,1,1},{4,-2,-1},{-2,4,-5},{-2,-2,5},{2,1,-5},{-4,3,-1},{1,-4,5},{-3,-1,3},{3,-1,-3},{-4,2,-1},{2,-4,3},{-2,3,-5},{-1,-3,5},{1,1,-5},{-3,2,-3},{-2,-2,3},{2,-1,-3},{1,-3,1},{-1,2,-5},{-1,-2,1},{-2,1,-3},{1,-2,-1},{-1,-1,-1}};

(* C3 group *)

Orbit100C3 = {{1,0,0},{-1,1,0},{0,-1,1},{0,1,-1},{1,-1,0},{-1,0,0}};

Orbit010C3 = {{0,1,0},{1,-1,1},{-1,0,1},{1,1,-1},{-1,2,-1},{2,-1,0},{1,-2,1},{-2,1,0},{-1,-1,1},{1,0,-1},{-1,1,-1},{0,-1,0}};

Orbit001C3 = {{0,0,1},{0,2,-1},{2,-2,1},{-2,0,1},{2,0,-1},{-2,2,-1},{0,-2,1},{0,0,-1}};

Orbit110C3 = {{1,1,0},{-1,2,0},{2,-1,1},{1,-2,2},{-2,1,1},{2,1,-1},{-1,-1,2},{1,2,-2},{-2,3,-1},{3,-1,0},{-1,3,-2},{3,-2,0},{1,-3,2},{-3,2,0},{2,-3,1},{-3,1,0},{-1,-2,2},{1,1,-2},{-2,-1,1},{2,-1,-1},{-1,2,-2},{-2,1,-1},{1,-2,0},{-1,-1,0}};

Orbit101C3 = {{1,0,1},{-1,1,1},{1,2,-1},{0,-1,2},{-1,3,-1},{3,-2,1},{0,3,-2},{2,-3,2},{-3,1,1},{3,0,-1},{3,-3,1},{-2,-1,2},{2,1,-2},{-3,3,-1},{-3,0,1},{3,-1,-1},{-2,3,-2},{0,-3,2},{-3,2,-1},{1,-3,1},{0,1,-2},{-1,-2,1},{1,-1,-1},{-1,0,-1}};

Orbit011C3 = {{0,1,1},{1,-1,2},{0,3,-1},{-1,0,2},{1,3,-2},{3,-3,2},{-1,4,-2},{4,-3,1},{-3,0,2},{3,1,-2},{3,-4,2},{-4,1,1},{4,-1,-1},{-3,4,-2},{-3,-1,2},{3,0,-2},{-4,3,-1},{1,-4,2},{-3,3,-2},{-1,-3,2},{1,0,-2},{0,-3,1},{-1,1,-2},{0,-1,-1}};

Orbit111C3 = {{1,1,1},{-1,2,1},{2,-1,2},{1,3,-1},{1,-2,3},{-1,4,-1},{-2,1,2},{2,3,-2},{4,-3,2},{-1,-1,3},{1,4,-3},{3,-4,3},{-2,5,-2},{5,-3,1},{-4,1,2},{4,1,-2},{-1,5,-3},{5,-4,1},{-3,-1,3},{3,2,-3},{3,-5,3},{-5,2,1},{5,-1,-1},{-4,5,-2},{4,-5,2},{-5,1,1},{5,-2,-1},{-3,5,-3},{-3,-2,3},{3,1,-3},{-5,4,-1},{1,-5,3},{-4,-1,2},{4,-1,-2},{-5,3,-1},{2,-5,2},{-3,4,-3},{-1,-4,3},{1,1,-3},{-4,3,-2},{-2,-3,2},{2,-1,-2},{1,-4,1},{-1,2,-3},{-1,-3,1},{-2,1,-2},{1,-2,-1},{-1,-1,-1}};

(* H3 group *)
(* τ=(1+Sqrt[5])/2 *)

Orbit100H3 = {{1,0,0},{-1,1,0},{0,-1,τ},{0,τ,-τ},{τ,-τ,1},{-τ,0,1},{τ,0,-1},{-τ,τ,-1},{0,-τ,τ},{0,1,-τ},{1,-1,0},{-1,0,0}};

Orbit010H3 = {{0,1,0},{1,-1,τ},{-1,0,τ},{1,τ,-τ},{-1,1+τ,-τ},{1+τ,-τ,1},{τ,-1-τ,1+τ},{-1-τ,1,1},{1+τ,0,-1},{-τ,-1,1+τ},{τ,τ,-1-τ},{-1-τ,1+τ,-1},{-τ,2 τ,-1-τ},{2 τ,-τ,0},{0,-1-τ,2 τ},{τ,-2 τ,1+τ},{-2 τ,τ,0},{0,1+τ,-2 τ},{-τ,-τ,1+τ},{τ,1,-1-τ},{1+τ,-1-τ,1},{-τ,1+τ,-1-τ},{1+τ,-1,-1},{-1-τ,0,1},{1,-1-τ,τ},{-1-τ,τ,-1},{-1,-τ,τ},{1,0,-τ},{-1,1,-τ},{0,-1,0}};

Orbit001H3 = {{0,0,1},{0,τ,-1},{τ,-τ,τ},{-τ,0,τ},{τ,1,-τ},{-τ,1+τ,-τ},{1+τ,-1,0},{1,-1-τ,1+τ},{-1-τ,τ,0},{-1,-τ,1+τ},{1,τ,-1-τ},{-1,1+τ,-1-τ},{1+τ,-τ,0},{τ,-1-τ,τ},{-1-τ,1,0},{-τ,-1,τ},{τ,0,-τ},{-τ,τ,-τ},{0,-τ,1},{0,0,-1}};

Orbit110H3 = {{1,1,0},{-1,2,0},{2,-1,τ},{1,-2,2 τ},{-2,1,τ},{2,τ,-τ},{-1,-1,2 τ},{1,2 τ,-2 τ},{-2,2+τ,-τ},{2+τ,-τ,1},{-1,1+2 τ,-2 τ},{1+2 τ,-2 τ,2},{τ,-2-τ,1+2 τ},{-2-τ,2,1},{2+τ,0,-1},{2 τ,-1-2 τ,2+τ},{-1-2 τ,1,2},{1+2 τ,0,-2},{-τ,-2,1+2 τ},{τ,2 τ,-1-2 τ},{-2-τ,2+τ,-1},{-2 τ,-1,2+τ},{2 τ,τ,-2-τ},{-1-2 τ,1+2 τ,-2},{-τ,3 τ,-1-2 τ},{3 τ,-2 τ,1},{0,-2-τ,3 τ},{-2 τ,3 τ,-2-τ},{3 τ,-τ,-1},{0,-1-2 τ,3 τ},{2 τ,-3 τ,2+τ},{-3 τ,τ,1},{0,1+2 τ,-3 τ},{τ,-3 τ,1+2 τ},{-3 τ,2 τ,-1},{0,2+τ,-3 τ},{-2 τ,-τ,2+τ},{2 τ,1,-2-τ},{1+2 τ,-1-2 τ,2},{-τ,-2 τ,1+2 τ},{τ,2,-1-2 τ},{2+τ,-2-τ,1},{-2 τ,1+2 τ,-2-τ},{1+2 τ,-1,-2},{-1-2 τ,0,2},{-τ,2+τ,-1-2 τ},{2+τ,-2,-1},{-2-τ,0,1},{1,-1-2 τ,2 τ},{-1-2 τ,2 τ,-2},{2,-2-τ,τ},{-2-τ,τ,-1},{-1,-2 τ,2 τ},{1,1,-2 τ},{-2,-τ,τ},{2,-1,-τ},{-1,2,-2 τ},{-2,1,-τ},{1,-2,0},{-1,-1,0}};

Orbit101H3 = {{1,0,1},{-1,1,1},{1,τ,-1},{0,-1,1+τ},{-1,1+τ,-1},{1+τ,-τ,τ},{0,2 τ,-1-τ},{τ,-1-τ,2 τ},{-1-τ,1,τ},{1+τ,1,-τ},{2 τ,-2 τ,1+τ},{-τ,-1,2 τ},{τ,1+τ,-2 τ},{-1-τ,2+τ,-τ},{2+τ,-1,0},{-2 τ,0,1+τ},{2 τ,1,-1-τ},{-τ,1+2 τ,-2 τ},{1+2 τ,-1-τ,1},{1,-2-τ,1+2 τ},{-2-τ,1+τ,0},{-2 τ,1+2 τ,-1-τ},{1+2 τ,-1,-1},{1+τ,-1-2 τ,2+τ},{-1-2 τ,τ,1},{-1,-1-τ,1+2 τ},{1,2 τ,-1-2 τ},{1,-1-2 τ,1+2 τ},{-1-2 τ,2 τ,-1},{-1-τ,-τ,2+τ},{1+τ,τ,-2-τ},{-1,1+2 τ,-1-2 τ},{1+2 τ,-2 τ,1},{-1,-2 τ,1+2 τ},{1,1+τ,-1-2 τ},{-1-τ,1+2 τ,-2-τ},{1+2 τ,-τ,-1},{2 τ,-1-2 τ,1+τ},{-1-2 τ,1,1},{-1,2+τ,-1-2 τ},{2+τ,-1-τ,0},{τ,-1-2 τ,2 τ},{-1-2 τ,1+τ,-1},{-2 τ,-1,1+τ},{2 τ,0,-1-τ},{1+τ,-2-τ,τ},{-2-τ,1,0},{-τ,-1-τ,2 τ},{τ,1,-2 τ},{-2 τ,2 τ,-1-τ},{-1-τ,-1,τ},{1+τ,-1,-τ},{-τ,1+τ,-2 τ},{0,-2 τ,1+τ},{-1-τ,τ,-τ},{1,-1-τ,1},{0,1,-1-τ},{-1,-τ,1},{1,-1,-1},{-1,0,-1}};

Orbit011H3 = {{0,1,1},{1,-1,1+τ},{0,1+τ,-1},{-1,0,1+τ},{1,2 τ,-1-τ},{1+τ,-1-τ,2 τ},{-1,1+2 τ,-1-τ},{1+2 τ,-2 τ,1+τ},{-1-τ,0,2 τ},{1+τ,1+τ,-2 τ},{2 τ,-1-2 τ,1+2 τ},{-1-2 τ,1,1+τ},{1+2 τ,1,-1-τ},{-1-τ,2+2 τ,-2 τ},{2+2 τ,-1-τ,1},{-2 τ,-1,1+2 τ},{2 τ,1+τ,-1-2 τ},{-1-2 τ,2+2 τ,-1-τ},{2+2 τ,-1,-1},{1+τ,-2-2 τ,2+2 τ},{-2-2 τ,1+τ,1},{-2 τ,1+3 τ,-1-2 τ},{1+3 τ,-1-τ,0},{1,-2-2 τ,1+3 τ},{-2-2 τ,1+2 τ,-1},{-1-τ,-1-τ,2+2 τ},{1+τ,2 τ,-2-2 τ},{1+τ,-1-3 τ,2+2 τ},{-1-3 τ,2 τ,0},{-1,-1-2 τ,1+3 τ},{1,1+2 τ,-1-3 τ},{-1-τ,1+3 τ,-2-2 τ},{1+3 τ,-2 τ,0},{-1-τ,-2 τ,2+2 τ},{1+τ,1+τ,-2-2 τ},{-1,2+2 τ,-1-3 τ},{2+2 τ,-1-2 τ,1},{2 τ,-1-3 τ,1+2 τ},{-1-3 τ,1+τ,0},{-1-τ,2+2 τ,-2-2 τ},{2+2 τ,-1-τ,-1},{1+2 τ,-2-2 τ,1+τ},{-2-2 τ,1,1},{-2 τ,-1-τ,1+2 τ},{2 τ,1,-1-2 τ},{1+τ,-2-2 τ,2 τ},{-2-2 τ,1+τ,-1},{-1-2 τ,-1,1+τ},{1+2 τ,-1,-1-τ},{-2 τ,1+2 τ,-1-2 τ},{-1-τ,-1-τ,2 τ},{1+τ,0,-2 τ},{-1-2 τ,2 τ,-1-τ},{1,-1-2 τ,1+τ},{-1-τ,1+τ,-2 τ},{-1,-2 τ,1+τ},{1,0,-1-τ},{0,-1-τ,1},{-1,1,-1-τ},{0,-1,-1}};

Orbit111H3= {{1,1,1},{-1,2,1},{2,-1,1+τ},{1,1+τ,-1},{1,-2,1+2 τ},{-1,2+τ,-1},{-2,1,1+τ},{2,2 τ,-1-τ},{2+τ,-1-τ,2 τ},{-1,-1,1+2 τ},{1,3 τ,-1-2 τ},{1+τ,-2-τ,3 τ},{-2,2+2 τ,-1-τ},{2+2 τ,-2 τ,1+τ},{-2-τ,1,2 τ},{2+τ,1+τ,-2 τ},{-1,1+3 τ,-1-2 τ},{1+3 τ,-3 τ,2+τ},{-1-τ,-1,3 τ},{1+τ,1+2 τ,-3 τ},{2 τ,-2-2 τ,1+3 τ},{-2-2 τ,2,1+τ},{2+2 τ,1,-1-τ},{-2-τ,3+2 τ,-2 τ},{3+2 τ,-1-τ,1},{3 τ,-1-3 τ,2+2 τ},{-1-3 τ,1,2+τ},{1+3 τ,1,-2-τ},{-1-τ,2+3 τ,-3 τ},{2+3 τ,-1-2 τ,2},{-2 τ,-2,1+3 τ},{2 τ,1+2 τ,-1-3 τ},{-2-2 τ,3+2 τ,-1-τ},{3+2 τ,-1,-1},{1+τ,-3-2 τ,2+3 τ},{-3-2 τ,2+τ,1},{-3 τ,-1,2+2 τ},{3 τ,1+τ,-2-2 τ},{-1-3 τ,2+3 τ,-2-τ},{2+3 τ,-1,-2},{1+2 τ,-2-3 τ,3+2 τ},{-2-3 τ,1+τ,2},{-2 τ,1+4 τ,-1-3 τ},{1+4 τ,-1-2 τ,1},{1,-3-2 τ,1+4 τ},{-3-2 τ,2+2 τ,-1},{-1-τ,-2-τ,2+3 τ},{1+τ,3 τ,-2-3 τ},{-3 τ,1+4 τ,-2-2 τ},{1+4 τ,-1-τ,-1},{1,-2-3 τ,1+4 τ},{-2-3 τ,1+3 τ,-2},{-1-2 τ,-1-τ,3+2 τ},{1+2 τ,2 τ,-3-2 τ},{1+2 τ,-1-4 τ,3+2 τ},{-1-4 τ,2 τ,1},{-1,-2-2 τ,1+4 τ},{1,1+3 τ,-1-4 τ},{-1-τ,1+4 τ,-2-3 τ},{1+4 τ,-3 τ,1},{1+τ,-1-4 τ,2+3 τ},{-1-4 τ,3 τ,-1},{-1,-1-3 τ,1+4 τ},{1,2+2 τ,-1-4 τ},{-1-2 τ,1+4 τ,-3-2 τ},{1+4 τ,-2 τ,-1},{-1-2 τ,-2 τ,3+2 τ},{1+2 τ,1+τ,-3-2 τ},{-1,2+3 τ,-1-4 τ},{2+3 τ,-1-3 τ,2},{3 τ,-1-4 τ,2+2 τ},{-1-4 τ,1+τ,1},{-1-τ,-3 τ,2+3 τ},{1+τ,2+τ,-2-3 τ},{-1,3+2 τ,-1-4 τ},{3+2 τ,-2-2 τ,1},{2 τ,-1-4 τ,1+3 τ},{-1-4 τ,1+2 τ,-1},{-1-2 τ,2+3 τ,-3-2 τ},{2+3 τ,-1-τ,-2},{1+3 τ,-2-3 τ,2+τ},{-2-3 τ,1,2},{-3 τ,-1-τ,2+2 τ},{3 τ,1,-2-2 τ},{-1-τ,3+2 τ,-2-3 τ},{3+2 τ,-2-τ,-1},{2+2 τ,-3-2 τ,1+τ},{-3-2 τ,1,1},{-2 τ,-1-2 τ,1+3 τ},{2 τ,2,-1-3 τ},{1+τ,-2-3 τ,3 τ},{-2-3 τ,1+2 τ,-2},{-1-3 τ,-1,2+τ},{1+3 τ,-1,-2-τ},{-3 τ,1+3 τ,-2-2 τ},{2+τ,-3-2 τ,2 τ},{-3-2 τ,1+τ,-1},{-2-2 τ,-1,1+τ},{2+2 τ,-2,-1-τ},{-2 τ,2+2 τ,-1-3 τ},{-1-τ,-1-2 τ,3 τ},{1+τ,1,-3 τ},{-1-3 τ,3 τ,-2-τ},{1,-1-3 τ,1+2 τ},{-2-τ,-1-τ,2 τ},{2+τ,-1,-2 τ},{-2-2 τ,2 τ,-1-τ},{2,-2-2 τ,1+τ},{-1-τ,2+τ,-3 τ},{-1,-3 τ,1+2 τ},{1,1,-1-2 τ},{-2-τ,1+τ,-2 τ},{-2,-2 τ,1+τ},{2,-1,-1-τ},{1,-2-τ,1},{-1,2,-1-2 τ},{-1,-1-τ,1},{-2,1,-1-τ},{1,-2,-1},{-1,-1,-1}};