Le théorème de lebesgue sur la dérivabilité des fonctions à variation bornée

Abstract

Dans ce mémoire, nous traiterons du théorème de Lebesgue, un des plus frappants et des plus importants de l'analyse mathématique ; à savoir qu'une fonction à variation bornée est dérivable presque partout. Le but de ce travail est de fournir, à part la démonstration souvent proposée dans les cours de la théorie de la mesure, d'autres démonstrations élaborées avec des outils mathématiques plus simples. Ma contribution a consisté essentiellement à détailler et à compléter ces démonstrations, puis à inclure la plupart des figures pour une meilleure lisibilité. Nous allons maintenant, pour ce théorème qui se présente sous d'autres variantes, en proposer l'historique et trois démonstrations différentes.

In this dissertation, we will be handling a theorem of Lebesgue, one of the most stricking and ultimate of mathematical analysis ; namely a function with bounded variation has a derivative almost everywhere. The aim of our research is to provide, apart from the proof usually offered in measure theory courses, other demontrations achieved with more simple mathematical tools. My contribution was primarily to simplify and to complete these demonstrations, to include the most of the drawings in order to visualize what is being said. For this theorem, which has other presentations, we will give now the history and three different demonstrations.