Upper Semicontinuous Extensions of Binary Relations

Abstract

Suzumura shows that a binary relation has a weak order extension if and only if it is consistent. However, consistency is demonstrably not sufficient to extend an upper semi-continuous binary relation to an upper semicontinuous weak order. Jaffray proves that any asymmetric (or reflexive), transitive and upper semicontinuous binary relation has an upper semicontinuous strict (or weak) order extension. We provide sufficient conditions for existence of upper semicontinuous extensions of consistence rather than transitive relations. For asymmetric relations, consistency and upper semicontinuity suffice. For more general relations, we prove one theorem using a further consistency property and another with an additional continuity requirement.

Suzumura montre qu'une relation binaire peut être étendue à un ordre faible si et seulement si elle est cohérente. La cohérence n'est cependant ni nécessaire ni suffisante pour qu'une relation binaire semi-continue supérieurement puisse être étendue à un ordre faible semi-continu supérieurement. Jaffray montre qu'une relation binaire asymétrique (ou réflexive) transitive et semi-continue supérieurement peut être étendue à un ordre strict (ou faible) semi-continu supérieurement. Nous proposons des conditions qui assurent qu’une relation cohérente, plutôt que transitive, peut être étendue en respectant la semi-continuité supérieure. Si la relation est asymétrique, il suffit qu'elle soit cohérente et semi-continue supérieurement. Pour les relations qui ne sont pas asymétriques, nous prouvons un théorème d'extension qui utilise une condition de cohérence supplémentaire et un autre qui utilise une condition de continuité supplémentaire.