Mahler measure and its generalizations

Abstract

La mesure de Mahler (logarithmique) de P, une fonction rationnelle non nulle à n variables, est définie comme la moyenne arithmétique de log |P| restreinte au tore n-dimensionnel standard (T^n = {(x_1, ..., x_n) ∈ (C*)^n: |x_i| = 1, for all 1 ≤ i ≤ n}) par rapport à la mesure de Haar unique (mesure d'arc normalisée) sur T^n. Elle a des liens avec les hauteurs, les volumes hyperboliques, la dynamique arithmétique et les valeurs spéciales des fonctions L. Il existe plusieurs généralisations de cette définition dans la littérature. Cette thèse se consacre à l'exploration de deux de ces généralisations : premièrement, lorsque le tore unité est remplacé par un tore à rayons arbitraires (T_{a_1, ..., a_n})^n = {(x_1, ..., x_n) ∈ (C*)^n: |x_i| = a_i, for all 1 ≤ i ≤ n} (appelée \textit{mesure de Mahler généralisée}), et deuxièmement, lorsque la mesure d'arc normalisée sur le tore unité est remplacée par la mesure d'aire normalisée sur le disque unité (appelée \textit{mesure de Mahler aréale}). Notre objectif principal est de quantifier le comportement de la mesure de Mahler de $P$ sous de telles modifications. Cette thèse est structurée en cinq projets.

1. Dans le chapitre 1, nous étudions la définition de la mesure de Mahler généralisée pour tous les polynômes de Laurent à n variables lorsqu'ils ne s'annulent pas sur le tore d'intégration. Ce travail a été publié dans [106].

2. Le chapitre 2 présente des évaluations non triviales de la mesure de Mahler aréale des polynômes à plusieurs variables, définie par Pritsker. Ce travail est réalisé en collaboration avec Lalin, et publié dans [84].

3. Dans le chapitre 3, nous étudions comment la mesure de Mahler aréale change lorsque l'on effectue un changement de variables par puissance sur les polynômes. Ceci est un travail conjoint avec Lalin, et publié dans [83].

4. Dans le chapitre 4, nous étudions la mesure de Mahler d'une famille particulière de fonctions rationnelles à un nombre arbitraire de variables et à un degré arbitraire dans l'une des variables. Ce travail est réalisé en collaboration avec Lalín et Nair, et sera publié dans [81].

5. Le chapitre 5 est consacré à l'évaluation de la mesure de Mahler aréale d'une famille de polynômes en utilisant l'analogue aréal de la mesure de Mahler zêta. Il s'agit d'un travail collaboratif en cours avec Lalin, Nair et Ringeling.

The (logarithmic) Mahler measure of a non-zero rational function P in n variables is defined as the arithmetic mean of log |P| restricted to the standard n-torus (T^n = {(x_1, ..., x_n) ∈ (C*)^n: |x_i| = 1, for all 1 ≤ i ≤ n}) with respect to the unique Haar measure (normalized arc measure) on T^n. It has connections to heights, hyperbolic volumes, arithmetic dynamics, and special values of L-functions. Various generalizations of this definition exist in the literature. This thesis is dedicated to exploring two such generalizations: firstly, when the unit torus is substituted by a torus with arbitrary radii (T_{a_1, ..., a_n})^n = {(x_1, ..., x_n) ∈ (C*)^n: |x_i| = a_i, for all 1 ≤ i ≤ n} (referred to as the \textit{generalized Mahler measure}), and secondly, when the normalized arc measure on the unit torus is replaced by the normalized area measure on the unit disk (referred to as the \textit{areal Mahler measure}). Our primary objective is to quantify the behavior of the Mahler measure of P under such alterations. This thesis is structured into five projects.

1. In Chapter 1, we investigate the definition of the generalized Mahler measure for all Laurent polynomials in n-variables when they do not vanish on the integration torus. This work has been published in [106].

2. In Chapter 2, we exhibit some nontrivial evaluations of the areal Mahler measure of multivariable polynomials, defined by Pritsker. This is a joint work with Lalin, and has been published in [84].

3. In Chapter 3, we investigate how the areal Mahler measure changes with the power change of variables. This a joint work with Lalin, and has been published in [83].

4. In Chapter 4, we investigate the Mahler measure of a particular family of rational functions with an arbitrary number of variables and an arbitrary degree in one of the variables. This is a joint work with Lalin and Nair, and will appear in [81].

5. In Chapter 5, we evaluate the areal Mahler measure of a family of polynomials using the areal analogue of the Zeta Mahler measure. This is an ongoing joint work with Lalin, Nair, and Ringeling.