Asymptotics of the sloshing eigenvalues for a two-layer fluid

Abstract

Dans ce mémoire de maîtrise, nous étudions l'asymptotique spectrale pour les problèmes d'oscillation de deux fluides incompressibles idéaux remplissant un volume arbitraire avec une surface supérieure ouverte ou fermée. Dans le premier chapitre, nous introduisons les notions de base de la géométrie spectrale, illustrons le problème de Steklov pour un fluide dans un volume arbitraire ainsi que les principaux résultats qui seront nécessaires pour comprendre et démontrer les énoncés du manuscrit. Nous dérivons également les principales relations et équations des petites oscillations d'un fluide incompressible idéal. La deuxième partie présente les principaux résultats sur les petites oscillations de deux liquides à surface supérieure fermée, obtenus par Solomyak, Kopachevsky et leurs collaborateurs, qui justifient et vérifient la cohérence des résultats pour le problème considéré. Finalement, nous traitons le problème avec une surface ouverte. Une question similaire a été abordée par Kuznetsov. Un canal rectangulaire rempli de deux liquides est un exemple révélateur vérifiant tous les principaux résultats de la recherche. Entre autres, nous avons trouvé un cas particulier intéressant dans lequel la famille de solutions correspondant au paramètre spectral disparaît. En conclusion, nous trouvons sur les conditions d'existence et l'unicité des solutions.

In this M.Sc. thesis, we investigate the spectral asymptotics for a problem describing oscillations of two ideal incompressible fluids filling an arbitrary volume with either open or closed upper surface. In the first chapter, we introduce the basic notions of spectral geometry and illustrate the Steklov problem for fluid in an arbitrary volume, as well as the main results needed to understand and prove the statements in the manuscript. We also derive the equations of small oscillations of an ideal incompressible fluid. The second part presents the main results on small oscillations of two liquids with a closed upper surface, obtained by Solomyak, Kopachevsky, and their collaborators that justify and verify the consistency of the findings for the problem under consideration. In the third chapter, we treat the problem with an open surface. A similar question was previously addressed by Kuznetsov. A rectangular channel filled with two liquids is a telling example that confirms all the main research results. Interestingly enough, we found a particular case in which the family of solutions corresponding to the spectral parameter disappears. In conclusion, we describe the condition of existence and the uniqueness of such solutions.