Dynamique et ergodicité des chaînes de spins quantiques critiques de Fredkin et Ising–Kawasaki

Abstract

Ce mémoire est composé de deux articles portant respectivement sur les chaînes de spin–1/2 critiques quantiques d’Ising–Kawasaki et de Fredkin. La première chaîne provient d’une chaîne d’Ising classique couplée à un bain thermique par une dynamique de Kawasaki. La deuxième chaîne est une généralisation de la chaîne fortement intriquée de Motzkin. Les deux chaînes sont étudiées avec des conditions frontière périodiques. L’objectif principal est de caractériser la dynamique de ces deux chaînes. D’abord, les exposants critiques dynamiques obtenus suggèrent que, à basse énergie, les deux systèmes comportent de multiples dynamiques. Dans les secteurs à un et deux magnons, nous obtenons un exposant z = 2 pour les deux chaînes. Pour la chaîne d’Ising–Kawasaki, à fort couplage, l’exposant dynamique global est plutôt z = 3. Pour la chaîne de Fredkin, l’exposant dépend de la parité de la longueur de la chaîne. Nous obtenons z = 3.23 ± 0.20 dans le cas pair et z = 2.71 ± 0.09 dans le cas impair. Ensuite, les symétries des systèmes permettent d’obtenir les états propres comme solutions d’ondes de spin dans les secteurs à un et deux magnons. Ces solutions sont présentées pour les deux chaînes et nous étudions leurs continuums de dispersion. Cependant, l’étude de la statistique des niveaux d’énergie indique que de telles solutions ne peuvent être obtenues dans les secteurs de polarisation plus basse. En effet, la distribution des espacements des niveaux d’énergie normalisés dans les secteurs faiblement polarisés correspond à une distribution de Wigner. Selon la conjecture de Berry-Tabor, cela indique que les deux systèmes ne sont pas intégrables. Finalement, pour la chaîne de Fredkin, nous étudions la dispersion des états faiblement excités. Cette dispersion est anomale puisqu’elle dépend de la longueur de la chaîne. En combinant le facteur d’échelle de l’amplitude des branches avec l’exposant dynamique à impulsion fixée, on trouve un exposant dynamique critique z = 2.8.

This thesis is composed of two scientific articles studying respectively the critial quantum spin-1/2 chains of Ising–Kawasaki and Fredkin. The first chain comes from a classical Ising chain coupled to a thermal bath via the Kawasaki dynamic. The second chain is a generalization of the strongly entangled Motzkin chain. The two chains are studied with periodic boundary conditions. The main objective is to characterize the dynamics of these two chains. First, the dynamical critical exponents obtained suggest that, at low energy, the two systems host multiple dynamics. In the one and two magnon sectors, we get an exponent z = 2 for the two chains. For the Ising–Kawasaki chain, at strong coupling, the global dynamical exponent is rather z = 3. For the Fredkin chain, the exponent depends on the parity of the length of the chain. We get z = 3.23 ± 0.20 in the even case and z = 2.71 ± 0.09 in the odd case. Afterwards, the symmetries of the systems make it possible to obtain the eigenstates as spin wave solutions in the one- and two- magnon sectors. These solutions are presented for the two chains and their dispersion continua is studied. However, the study of the statistics of energy levels indicates that such solutions cannot be obtained in lower polarization sectors. Indeed, the distribution of the spacings of the normalized energy levels in the weakly polarized sectors corresponds to a Wigner distribution. According to the Berry-Tabor conjecture, this indicates that the two systems are not integrable. Finally, for the Fredkin chain, we study the dispersion of weakly excited states. This dispersion is anomalous since it depends on the length of the chain. By combining the branch amplitude scaling with the fixed momentum dynamic exponent, we find a dynamical critical exponent z = 2.8.