Sur les solutions d'équations différentielles de Stieltjes du premier et du deuxième ordre

Abstract

La dérivée de Stieltjes, ou g-dérivée, a été introduite par Pouso et RodrÍguez afin d'obtenir un équivalent du théorème fondamental du calcul pour l'intégrale de Lebesgue-Stieltjes. Cette dérivée permet aussi de généraliser différents types d'équations différentielles. Ce mémoire introduit la g-dérivée et expose le travail effectué jusqu'à présent dans la démonstration de généralisations de résultats connus pour les équations différentielles; notamment la définition d'une exponentielle comme solution d'une équation linéaire homogène du premier ordre et des résultats d'existence et d'unicité de solutions à des systèmes d'équations différentielles de Stieltjes du premier ordre. Nous poursuivons en généralisant certains résultats, par exemple l'existence d'un intervalle maximal d'existence pour les solutions et la dépendance continue aux conditions initiales. Nous introduisons ensuite l'équation linéaire du deuxième ordre et nous présentons des résultats sur l'existence et l'unicité de solution, ainsi que la forme de celle-ci. Ces équations permettent aussi d'introduire des équivalents des fonctions hyperboliques et trigonométriques. Finalement, nous démontrons la pertinence de cette nouvelle dérivée en montrant comment elle généralise les anciennes tentatives d'unification des calculs différentiels continu et discret, et en appliquant la théorie développée à la modélisation d'une population de drosophiles.

The Stieltjes derivative, or g-derivative, was introduced by Pouso and RodrÍguez to obtain an equivalent of the fundamental theorem of calculus for the Lebesgue-Stieltjes integral. This derivative also allows the generalization of different types of differential equations. This thesis introduces the g-derivative and exposes work done until now in the demonstration of generalizations of results known for differential equations; namely the definition of an exponential function as the solution of a first order linear homogeneous equation and existence and uniqueness results for first-order systems of Stieljtes differential equations. We proceed by generalizing some results, for example the existence of a maximal interval of existence for solutions and the continuous dependence on initial conditions. We introduce the second order linear equation and present results on the existence and uniqueness of solutions, as well as their form. These equations allow us to introduce equivalents of the trigonometric and hyperbolic functions. Finally, we emphasize the pertinence of this new derivative, by showing how it generalizes previous attempts at unifying discrete and continuous calculus and by applying the theory of Stieltjes differential equations to the modeling of a population of drosophilae.