Le modèle GREM jumelé à un champ magnétique aléatoire

Abstract

Dans cette thèse, nous étudions les statistiques des valeurs extrêmes du modèle à énergies aléatoires généralisé (GREM) à deux niveaux en présence d'un champ magnétique aléatoire (CMA). Ce modèle généralise à la fois le modèle à énergies aléatoires (REM) avec un CMA dans [1,10] et le modèle GREM avec un champ magnétique déterministe dans [6]. L'objectif du présent ouvrage consiste à déterminer les statistiques des valeurs extrêmes d'un point de vue de la mécanique statistique. Plus précisément, nous étudions le maximum, l'entropie et l'énergie libre du modèle GREM avec CMA à deux niveaux, généralisant le comportement obtenu en [1,6]. Les résultats présentés dans cette thèse aident à éclaircir et à cerner l'influence du champ magnétique aléatoire sur l'ordre de grandeur du maximum, de l'entropie ainsi que de l'énergie libre. Les démonstrations du premier ordre du maximum et de l'entropie se base sur une application de la théorie des grandes déviations qui permet de réduire le problème à l'étude d'un GREM sans CMA sur un nombre diminué de configurations. Les techniques introduites dans cette thèse sont générales et s'étendent à l'étude du modèle GREM avec un CMA à plusieurs niveaux et de la marche aléatoire branchante (MAB) avec un CMA.

In this doctoral thesis we study the extreme value statistics of the two level Generalized Random Energy Model (GREM) coupled with a random magnetic field. This model generalizes both the Random Energy Model (REM) combined with a random magnetic field in [1, 10] and that of the GREM in the presence of a uniform external field found in [6]. This dissertation aims to determine the extreme value statistics from a statistical mechanics perspective, specifically the maximum, entropy as well as free energy, generalizing the behavior found in [1, 6]. The results herein explain clearly the effects of the random magnetic field on the maximum’s order of magnitude, as well as that of entropy and of free energy. The proofs for the maximum and for the entropy rely greatly on an application of large deviation theory which reduces the problem to that of a GREM in the absence of the random magnetic field on a lesser amount of configurations. The methods introduced in this thesis are general and extend to the k-level GREM in the presence of a random magnetic field and to the Branching Random Walk Model (BRM) coupled with a random magnetic field.